Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Matrixreihen
Das Argument A einer Potenzreihe muß nicht unbedingt eine reelle Variable x sein. Es
ist außer Konvergenz der Reihe, deren Untersuchung wir Mathematikern überlassen, nur
erforderlich, daß man A wiederholt mit sich multiplizieren kann und daß Linearkombinationen
der Potenzen von A erklärt sind. Ist A beispielsweise eine Matrix, so definiert
e A =
∞∑
n=0
1
n! An , wobei A 0 = 1 , (4.33)
die Exponentialfunktion der Matrix A. Der Beweis von e x e y macht von xy = yx Gebrauch.
Unverändert gilt e A e B = e A+B für Matrizen A und B, die miteinander kommutieren,
das heißt, für die AB = BA gilt. Aber nicht alle Matrizen kommutieren miteinander,
und e A e B ist nicht für alle Matrizen e A+B . Da komplexe Zahlen miteinander
kommutieren, gilt e z e w = e z+w für alle komplexen Zahlen z und w.
Da Vielfache einer Matrix A miteinander kommutieren, gilt e aA e bA = e (a+b)A für alle
Zahlen a und b und insbesondere e A e −A = e 0 = 1. Also sind alle Matrizen von der Form
e A invertierbar. Die Matrix A heißt Erzeugende der linearen Transformationen e aA oder
auch die zu e aA gehörige infinitesimale Transformation, A = d
da eaA | a=0
.
Eulerformel, Ableitung der Winkelfunktionen
Weil die Koeffizienten 1/n! der Exponentialreihe reell sind, gilt für komplexe Zahlen z
(e z ) ∗ = e (z∗) . (4.34)
Also hat e iα für reelle α den Betrag |e iα | 2 = e −iα e iα = e 0 = 1. Der Real- und Imaginärteil
von e iα sind daher Cosinus und Sinus des Winkels, den e iα mit der x-Achse einschließt.
Trennt man die Reihenentwicklung in gerade und ungerade Potenzen, so zerlegt dies e iα
wegen i 2n = (−1) n in seinen Realteil cosα und i mal seinen Imaginärteil sin α
e iα =
∞∑
n=0
i 2n
(2n)! α2n +
∞∑
n=0
i 2n+1
(2n + 1)! α2n+1 =
∞∑
n=0
(−1) n
(2n)! α2n + i
∞∑
n=0
(−1) n
(2n + 1)! α2n+1 ,
n=0
e iα i sinα e iα = cosα + i sin α . (4.35)
cosα
Dies ist die Eulerformel. Man erhält cos und sin als Potenzreihen
∞∑ (−1) n
∞
cosx =
(2n)! x2n = 1− x2
2 +. . . , sin x = ∑ (−1) n
(2n + 1)! x2n+1 = x− x3
+. . . (4.36)
6
mit den Ableitungen
d cosx
dx
= − sin x ,
d sin x
dx
n=0
= cosx , ∂ cos = − sin , ∂ sin = cos . (4.37)