Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Nimmt man für natürliche Zahlen p und q von der Funktion P 1
q
: x ↦→ x 1 q die p-te
Potenz, so ergibt die Kettenregel (4.10) für die Ableitung von P p
q = P p ◦ P 1
q
∂P p = ( ) 1
p P
q p−1 ◦ P 1
q
q P q 1 −1 = p q P p−1 P 1
q q −1 = p q P p
q −1 . (4.19)
Es gilt demnach für positive x für jede positive, rationale Potenz P r : x ↦→ x r
dx r
dx = r xr−1 , ∂P r = rP r−1 . (4.20)
Ableiten des Produkts 1 = P −r P r ergibt 0 = ∂(P −r ) P r +P −r r P r−1 . Dann zeigt Auflösen
nach ∂P −r , daß (4.20) auch für negatives, rationales r gilt.
Potenzreihen
Eine Funktion heißt analytisch in einem Intervall um 0, wenn sie dort eine absolut
konvergente Potenzreihe ist. Ihre Ableitung ist analytisch und gleich der Potenzreihe der
Ableitungen, 2
f : x ↦→
∞∑
n=0
1
n! f n x n , ∂f : x ↦→
∞∑
n=0
1
n! f n+1 x n . (4.21)
Ableiten verschiebt also die Koeffizienten der Potenzreihe. Mehrfaches Ableiten verschiebt
mehrfach. Die Koeffizienten f l sind folglich die l-fachen Ableitungen der Funktion
am Entwicklungspunkt. Entwickeln wir allgemeiner eine bei x analytische Funktion,
so gilt
f(x + h) =
∞∑
n=0
h n
n!
(d n f
dx n )
| x
. (4.22)
Diese Potenzreihe ist die Taylorreihe der analytischen Funktion f.
Die Exponentialfunktion, die Eulersche Funktion e x , Leonhard Euler (1707-1783) [18],
exp x = e x =
∞∑
n=0
ergibt abgeleitet wieder die e-Funktion,
1
n! xn , e = e 1 =
∞∑
n=0
1
n!
= 2,71 . . . (4.23)
d
dx ex = e x , ∂ exp = exp . (4.24)
Das Produkt von e-Funktionen von Zahlen x und y ist die e-Funktion der Summe
e x e y = e x+y . (4.25)
2 Das Symbol n!, gesprochen n-Fakultät, bezeichnet das Produkt aller natürlichen Zahlen bis einschließlich
n, n! = 1 · 2 · · ·n. Dabei ist 0! = 1.