Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

48 3 Lineare Abbildungen
auftreten, wenn also det D = 1 ist, eine Schar D λ von Drehungen, die stetig von λ abhängen
und 1 = D λ=0 mit D = D λ=1 verbinden. Die Gruppe der Drehspiegelungen hat zwei
Zusammenhangskomponenten, nämlich erstens die Gruppe SO(n) der Drehungen in n
Dimensionen. Die Determinante jeder Drehung hat den speziellen Wert det D = 1, woher
der Name spezielle orthogonale Transformation rührt. Die andere Zusammenhangskomponente
Π ◦ SO(n) ergibt sich aus SO(n) durch die Paritätstransformation Π, das ist
eine Spiegelung
⎛ ⎞
−1
1
Π = ⎜
⎝
. ..
⎟
(3.103)
⎠
1
einer ungeraden Anzahl orthogonaler Basisvektoren. Die Determinante der Transformationen
Π ◦ SO(n) hat den Wert −1. Zusammen mit SO(n) bildet Π ◦ SO(d) die Gruppe
O(n) der orthogonalen Transformationen oder Drehspiegelungen in n Dimensionen. Für
sich genommen ist Π ◦ SO(n) keine Gruppe, sie enthält insbesondere nicht die 1.
Adjungierte und kontragrediente Transformation
Invertierbare Selbstabbildungen einer Mannigfaltigkeit M nennt man Transformationen.
Sie bilden eine Gruppe, wobei das Produkt im Hintereinanderausführen besteht. Das
Einselement ist die identische Abbildung, die jeden Punkt auf sich abbildet.
Eine Gruppe G wirkt als Transformationsgruppe auf einer Mannigfaltigkeit M, wenn
zu jedem Gruppenelement g ∈ G eine Transformation M g von M gehört,
{
M → M
M g :
x ↦→ M g x , (3.104)
und hintereinander ausgeführte Transformationen diejenige Transformation ergeben, die
zum Gruppenprodukt gehören,
M g M g ′ = M gg ′ . (3.105)
Dann spricht man von einer Realisierung der Gruppe G als Transformationsgruppe
auf M. Beispielsweise transformieren Lorentztransformationen die Richtungen von Lichtstrahlen
und wirken so als Transformationsgruppe der zweidimensionalen Kugelschale S 2 .
Trivialerweise realisiert die Identität M g = id ∀g ∈ G jede Gruppe G.
Ist die Gruppe G spezieller durch lineare Transformationen eines Vektorraumes V
realisiert, so heißt die Abbildung von G in den Raum der linearen Transformationen
von V Darstellung von G und M g stellt g dar.
Ist G auf zwei Mannigfaltigkeiten M und N durch Transformationen M g : M → M
und N g : N → N realisiert, so wirkt g ∈ G auf natürliche Art auch auf das kartesischen
Produkt M×N, die Menge der Paare (x, y) mit x ∈ M und y ∈ N, durch eine Abbildung,
die wir mit M g × N g bezeichnen,
{ M × N → M × N
M g × N g :
. (3.106)
(x, y) ↦→ (M g x, N g y)