Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Eingeschränkt auf diesem Unterraum U ⊥ ist D eine orthogonale Transformation, die nur
komplexe Eigenvektoren w = u + iv und komplexe Eigenwerte λ ≠ λ ∗ hat.
Wegen der Orthogonalitätsrelationen D i kD i l = δ kl (3.64) und der Eigenwertgleichung
gilt auch bei komplexen Vektoren
(Dw ∗ ) ·(Dw) − w ∗ ·w = 0 = (λ ∗ λ − 1)w ∗ ·w = (|λ| 2 − 1)(u 2 + v 2 ) . (3.98)
Weil u 2 + v 2 nicht Null ist, hat der komplexe Eigenwert den Betrag 1 und ist von der
Form λ = cosα + i sin α. Der Vektor w ∗ = u − iv ist Eigenvektor der rellen Matrix D
zum Eigenwert λ ∗ . Wir können daher im Eigenwertpaar λ und λ ∗ die Bezeichnung so
wählen, daß λ einen positiven Imaginärteil hat und α aus dem Bereich 0 < α < π ist.
Aus der Orthogonalitätsrelation folgt
(Dw) ·(Dw) − w ·w = 0 = (λ 2 − 1)w ·w = (λ 2 − 1) (u 2 − v 2 + 2iu ·v) , (3.99)
und wegen λ 2 ≠ 1 sind die rellen Vektoren u und v gleich lang und zueinander senkrecht.
Wählen wir sie normiert als Basisvektoren einer Orthonomalbasis, e 1 = v, e 2 = u, so
wirkt D in diesem Unterraum als Drehung (3.95)
( )
cosα − sin α
D α =
. (3.100)
sin α cos α
Der auf w = u + iv senkrechte Unterraum Û⊥ wird auf sich selbst abgebildet.
x ·w = 0 ⇒ 0 = (Dx) ·(Dw) = λ(Dx) ·w . (3.101)
Eingeschränkt auf diesen Unterraum ist D eine orthogonale Transformation, die keine
reellen Eigenwerte hat, sondern wiederum eine reell zweidimensionale Ebene, die von
orthonormalen Vektoren aufgespannt wird, durch eine Drehung D β transformiert.
Es gibt daher für jede Drehung D eine Orthonormalbasis, in der die zugehörige Matrix
blockdiagonal von der Form
⎛
⎞
α ... D =
⎜
D β
⎝D
1
⎟
⎠
−1
(3.102)
ist, wobei 1 für einen Block von Eigenwerten 1 und −1 für einen anderen Block von
Eigenwerten −1 steht. Wenn die Dimension des Vektorraumes ungerade ist, muß ein
reeller Eigenwert 1 oder −1 auftreten, es gibt eine Drehachse oder eine Spiegelachse.
Bei Spiegelungen ist die Anzahl der Eigenwerte −1 ungerade, bei Drehungen gerade.
Jedes Paar von Eigenwerten −1 gehört zu einer Drehung D π um 180 ◦ .
Da jede Drehung D α aus der identischen Abbildung durch stetiges Vergrößern des
Drehwinkels von 0 auf α hervorgeht, gibt es genau dann, wenn die Eigenwerte −1 paarig