Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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P(z) = (z−z 1 )ˆP(z)+R. Ist nun z 1 eine Nullstelle von P(z), 0 = P(z 1 ) = (z 1 −z 1 )ˆP(z 1 )+R,
so verschwindet diese Konstante und P(z) = (z − z 1 )ˆP(z) läßt sich restlos durch (z − z 1 )
teilen. Ebenso enthält ˆP(z) einen Faktor (z − z 2 ) und so weiter.
Eigenwertgleichung
Die Eigenwertgleichung bestimmt bei gegebener linearer Abbildung M die speziellen
Richtungen ⃗v ≠ 0, die Eigenvektoren ⃗v von M, die von M lediglich um einem Faktor λ,
den zu ⃗v gehörigen Eigenwert von M, gestreckt werden,
M⃗v = λ⃗v ⇔ (M − λ1)⃗v = 0 ⇒ det(M − λ1) = 0 . (3.86)
Damit (M−λ1)⃗v = 0 gilt und ⃗v nicht verschwindet, darf (M−λ1) nicht invertierbar sein,
sonst folgte 0 = (M − λ1) −1 (M − λ1)⃗v = ⃗v . Also muß die Determinante von (M − λ1)
verschwinden. Verschwindet sie, so hat (M − λ1) einen Nullvektor ⃗v ≠ 0, also M einen
Eigenvektor zum Eigenwert λ.
Da die Eigenvektorgleichung linear homogen in ⃗v ist, ist jedes nichtverschwindende
Vielfache eines Eigenvektors ⃗v auch Eigenvektor zu demselben Eigenwert. Die Eigenwertgleichung
legt nicht die Normierung und das Vorzeichen des Eigenvektors fest.
Die Determinante det(M − λ1) = (−1) n (λ n + ∑ n−1
k=0 a kλ k ) ist ein Polynom vom
Grad n = dim V in λ. Sie heißt charakteristisches Polynom von M. Die Eigenwertgleichung
det(M − λ1) = 0 hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra (3.84) n komplexe
Lösungen,
det(M − λ1) = (−1) n (λ − λ 1 ) (λ − λ 2 ) · · ·(λ − λ n ) . (3.87)
Da det M der Wert dieses Polynoms für λ = 0 ist, erweist sich die Determinante als
Produkt der Eigenwerte,
det M = λ 1 λ 2 · · ·λ n . (3.88)
Eigenvektoren e 1 , e 2 . . .e k von M zu verschiedenen Eigenwerten λ 1 , λ 2 . . .λ k sind linear
unabhängig. Das ist richtig für k = 1. Wären k ≥ 2 Eigenvektoren, aber nicht schon
k − 1 Eigenvektoren, zu verschiedenen Eigenwerten linear abhängig, so gälte
e k = e 1 a 1 + e 2 a 2 + . . . + e k−1 a k−1 (3.89)
mit linear unabhängigen e 1 , e 2 . . .e k−1 und Koeffizienten a i , die nicht alle verschwinden.
Wenn wir M − λ k 1 anwenden, widerspricht aber die Eigenwertgleichung
0 = e 1 a 1 (λ 1 − λ k ) + e 2 a 2 (λ 2 − λ k ) + . . . + e k−1 a k−1 (λ k−1 − λ k ) (3.90)
der linearen Unabhängigkeit der Eigenvektoren e 1 , e 2 . . .e k−1 .
Das heißt nicht, daß es bei jeder n × n-Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren
gibt, denn es können Nullstellen des charakteristischen Polynoms zusammenfallen, das
heißt mehrfach, etwa p-fach, auftreten. Solch einen Eigenwert nennt man p-fach entartet.
Zu einem p-fach entarteten Eigenwert gibt es nicht unbedingt p linear unabhängige
Eigenvektoren, wie ein Gegenbeispiel zeigt,
( ) 0 1
M = . (3.91)
0 0