Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

44 3 Lineare Abbildungen
Das Additionstheorem für sin(α + β) kann man aus der Gleichheit der Fläche des
Parallelogramms, a b sin(α+β), und des Rechtecks, a b sinα cosβ+a b sinβ cosα, der
folgenden Zeichnung entnehmen [19]. Mit cosα = sin(π/2 − α) folgt daraus cos(α + β).
⃗a
a sin α
Fundamentalsatz der Algebra
α
β
⃗b
b sinβ
b cosβ = a cosα
Abbildung 3.1: Additionstheorem sin(α + β)
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, von Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) [18]
bewiesen, von uns nur verwendet, hat jedes Polynom P n (z) = z n + ∑ n−1
k=0 a k z k vom
Grad n in einer komplexen Variablen z und mit komplexen Koeffizienten a 0 , a 1 . . .a n−1
n komplexe Nullstellen z 1 , z 2 ...z n , wobei mehrfache Nullstellen mehrfach zählen, 3
n−1
∑
z n + a k z k = (z − z 1 ) (z − z 2 ) · · ·(z − z n ) . (3.84)
k=0
Für n = 2 berechnet man die Nullstellen, indem man z 2 + pz zum Quadrat von z + p/2
ergänzt und die Differenz von Quadraten faktorisiert, a 2 − b 2 = (a + b) (a − b),
z 2 + p z + q = (z + p 2 )2 − p2
4 + q = (z + p 2 )2 − (√ p 2
4 − q) 2
= ( z + p √
p
2 − 2
4 − q)( z + p √
p
2 + 2
4 − q) = (z − z 1 ) (z − z 2 ) , (3.85)
z 1 = − p √
p
2 + 2
4 − q , z 2 = − p √
p
2 − 2
4 − q .
Dabei merkt man sich leichter das Stichwort ”
quadratische Ergänzung“ und führt sie aus
als die Formel für beide Nullstellen.
Bei Polynomen höherer Ordnung, n > 4, kann man die Nullstellen z 1 , z 2 . . . nicht
als algebraischen Ausdruck in den Koeffizienten a 0 , a 1 . . . schreiben. Man kann aber
die Nullstellen bei gegebenem Polynom numerisch mit jeder gewünschten Genauigkeit
bestimmen, nicht anders als die Wurzeln bei der Lösung quadratischer Gleichungen.
Daß sich das Polynom P n (z) als Produkt von Faktoren z − z 1 , z − z 2 . . . schreiben
läßt, liegt daran, daß man jedes Polynom P(z) bis auf einen Rest R als Produkt eines
Faktors (z − z 1 ) mit einem Polynom kleineren Grades ˆP(z) schreiben kann, wobei der
Grad des Restes kleiner als der von (z − z 1 ) ist. Der Rest ist also eine Konstante,
3 In diesem Zusammenhang bezeichnen hochgestellte Zahlen natürlich Potenzen, nicht Komponenten.