Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

42 3 Lineare Abbildungen
Falls k oder l nicht n sind, bringen wir L k l durch zyklisches Vertauschen von n−k Zeilen
und n−l Spalten in die rechte untere Ecke der Matrix L. Dabei ändert die Determinante
ihr Vorzeichen um (−1) (k+l) . Der Koeffizient a in det L = ax+b ist demnach (−1) (k+l)
mal der Determinante der Untermatrix, die man durch Streichen der Zeile k und der
Spalte l aus L erhält. Diese Determinante heißt Minor der Zeile k und der Spalte l.
Multipliziert man die Koeffizienten a l k mit L k j und summiert über k, so erhält man
a l kL k j = ǫ i1 i 2 ...i l−1 k i l+1 ...i n
L i 1 1 L i 2 2 · · · L i l−1 l−1
L k j
}{{}
L i l+1 l+1 · · · L i n n . (3.72)
eingefügt
Das ist Null, wenn j nicht mit l übereinstimmt, denn dann stimmt j mit einem der Werte
1, 2 . . .l − 1, l + 1 . . . überein und 1, 2 . . .l − 1, j, l + 1 . . . ist keine Permutation (3.35).
Falls j = l ist, ergibt sich die Determinante,
a l kL k j = δ l j det L . (3.73)
Dies ist der Determinantenentwicklungssatz. Die Determinante ist die Summe über k
der Matrixelemente L k j der Spalte j mit Koeffizienten a j k, die man aus den Minoren der
Zeile k und Spalte j mit einem schachbrettartigen Vorzeichen (−1) (j+k) enthält.
Für uns ist entscheidend, daß a l k/ det L für det L ≠ 0 die Matrixelemente L −1l k der
inversen Matrix L −1 sind,
a l k = L −1 l k det L . (3.74)
Die Matrixelemente von L −1 sind rationale Funktionen der Matrixelemente von L. Die
Matrix L −1 enthält in der Zeile l und der Spalte k den Minor der Zeile k und der Spalte l,
mal (−1) (k+l) , geteilt durch die Determinante von L .
Komplexe Zahlen
Die Matrizen
die wir kürzer als
( ) x −y
z = , x, y ∈ R , (3.75)
y x
( ( )
1 −1
z = x + i y , 1 = , i = , (3.76)
1)
1
schreiben, bilden einen reell zweidimensionalen Vektorraum,
(x + i y) + (u + i v) = (x + u) + i (y + v) . (3.77)
In Polarkoordinaten, x = r cosϕ, y = r sin ϕ, r = √ x 2 + y 2 , ϕ = arctany/x, erweisen
sie sich für z ≠ 0 als invertierbare Streckung um r und Drehung um ϕ
z = r ( cosϕ + i sin ϕ ) ( )
cosϕ − sin ϕ
= r
(3.78)
sin ϕ cosϕ
mit dem Inversen
z −1 = x − i y
x 2 + y 2 . (3.79)