Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Numerische Berechnung der Determinante
Wegen der Antisymmetrie und der spaltenweisen Linearität der Determinante ändert
sie nicht ihren Wert, wenn man zu einer Spalte der Matrix ein Vielfaches einer anderen
Spalte addiert. Dieses Cavalierische Prinzip benutzt man bei der numerischen Berechnung
der Determinante der n ×n-Matrix L und berechnet sie in weniger als n! Schritten
als Determinante einer Dreiecksmatrix.
Falls die rechts unten stehende Komponente verschwindet, vertauscht man die n-te
Spalte mit einer, deren unterste Komponente nicht verschwindet. Dann addiert man wie
bei der Berechnung der Parallelogrammfläche (2.14) und des Spatvolumens (2.25) zu
jeder Spalte j = 1, 2 . . .n − 1 so ein Vielfaches der n-ten Spalte, L ′ i j = L i j − L i nc j mit
c j = L n j/c und c = L n n ≠ 0, daß in der resultierenden Matrix L ′ alle Matrixelemente
in der untersten Zeile links von L n n verschwinden, L ′ n j = 0 für j < n. L ′ hat bis auf
das Vorzeichen wegen einer Spaltenvertauschung dieselbe Determinante wie L.
In der resultierenden (n − 1) × (n − 1) Untermatrix der ersten (n − 1)-Zeilen und
(n − 1)-Spalten verfährt man ebenso. So fortfahrend erhält man eine Matrix, die unterhalb
der Diagonalen verschwindet. Ihre Determinante stimmt mit der ursprünglichen
Determinante bis auf die Minuszeichen für jede Spaltenvertauschung überein.
Die Determinante solch einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.
Sie verschwindet genau dann, wenn ein Diagonalelement verschwindet. Dann gibt es,
wie dieses Verfahren zeigt, eine nichtverschwindende Linearkombination der Spalten der
ursprünglichen Matrix, die sich zu einer Nullspalte kombiniert. Die Determinante von L
verschwindet genau dann, wenn die Bilder L(e i ) einer Basis linear abhängig sind.
Berechnung der inversen Matrix
Die Determinante (3.30)
det L = ǫ i1 i 2 ...i n
L i 1 1 L i 2 2 · · · L i n n = ∑ π∈S n
sign(π) L π(1) 1 L π(2) 2 · · · L π(n) n (3.69)
ist ein Polynom der Matrixelemente. Vom Matrixelement in der k-ten Zeile und der l-ten
Spalte, x = L k l, hängt sie linear inhomogen ab, det L = ax+b, denn sie ist linear in jeder
Spalte. Der Koeffizient a hängt natürlich von k und l und anderen Matrixelementen ab,
a l k = ǫ i1 i 2 ...i l−1 ki l+1 ...i n
L i 1 1 L i 2 2 · · · L i l−1 l−1
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fehlt
L i l+1 l+1 · · · L i n n . (3.70)
Für den Fall k = n und l = n ist der Vorfaktor a die Determinante der Untermatrix
von L, die man durch Weglassen der n-ten Zeile und der n-ten Spalte erhält.
det L = ∑ (
sign(π) L
π(1)
1 L π(2) 2 · · ·)L π(n) n + ∑
sign(π) L π(1) 1 L π(2) 2 · · · L π(n) n
π(n)=n
a = ∑
π(n)≠n
π∈S n−1
sign(π) L π(1) 1 L π(2) 2 · · · L π(n−1) n−1 (3.71)