Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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Eigenräume von Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Adjungierte und kontragrediente Transformation . . . . . . . . . . . . . . 48 Das Schursche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Die Ableitung 51 Linearität, Produktregel, Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Zwischenwertsatz, Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ableitung ganzzahliger und rationaler Potenzen . . . . . . . . . . . . . . 54 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Matrixreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Eulerformel, Ableitung der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . 58 Komplexer Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exponentialfunktion einer erzeugenden Transformation . . . . . . . . . . 60 5 Funktionen mehrerer Variablen 61 Ableitung längs einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Mannigfaltigkeiten, Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . 65 Vektor- und Dualvektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Minimieren unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Konforme Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6 Bezugssysteme 73 Galileitransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Lorentztransformation in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Lorentztransformation in vier Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7 Jetfunktionen 79 8 Einfache Beispiele von Bahnkurven 81 Fall im homogenen Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9 Energie und Impuls 85 Transformation additiver Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Viererimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Zerfall in zwei Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Compton-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10 Erhaltungsgrößen und Symmetrien 93 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Gewichteter Startort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Eindimensionale Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Keplerbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Senkrechter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Kleine Schwingungen 109 Diagonalisierung einer reellen, quadratischen Form . . . . . . . . . . . . . 110 Überlagerung von Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12 Integration 113 Linearität, Zwischenwertsatz, Ableitung nach der oberen Grenze . . . . . 114 Hauptsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Integral über komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Substitution der Integrationsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Höherdimensionales Integral, Mehrfachintegration . . . . . . . . . . . . . 123 Vektorwertige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Integralsubstitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Flächenelement in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Volumenelement in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Gravitationspotential einer kugelsymmetrischen Massenverteilung . . . . 129 Metrische Größe von Kurven, Flächen und Volumina . . . . . . . . . . . 132 Kugelfläche in n Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13 Wirkungsprinzip 135 Ideale Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Weltlinie längster Dauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Änderung von Jetfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Prinzip der stationären Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Symmetrien und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Brachistochrone und Tautochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 14 Maxwellgleichungen 151 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Magnetfeld eines zylindersymmetrischen Stromfadens . . . . . . . . . . . 152 Stokessche Schleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
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- Seite 24 und 25: 14 1 Vektorräume Wir verlängern d
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- Seite 28 und 29: 18 2 Inhalte Sei π ′ = (1)(2, 5)
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- Seite 32 und 33: 22 2 Inhalte Abbildung 2.3 zeigt di
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- Seite 36 und 37: 26 2 Inhalte Der Faktor e in (2.34)
- Seite 38 und 39: 28 2 Inhalte Unter der Spiegelung a
- Seite 40 und 41: 30 2 Inhalte Die Produkte e i1 ∧
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- Seite 44 und 45: 34 3 Lineare Abbildungen Inverse Ma
- Seite 46 und 47: 36 3 Lineare Abbildungen denn die b
- Seite 48 und 49: 38 3 Lineare Abbildungen Die Bilder
- Seite 50 und 51: 40 3 Lineare Abbildungen In einer O
- Seite 52 und 53: 42 3 Lineare Abbildungen Falls k od
10 Erhaltungsgrößen <strong>und</strong> Symmetrien 93<br />
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
Gewichteter Startort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
Eindimensionale Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
Keplerbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
Senkrechter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
11 Kleine Schwingungen 109<br />
Diagonalisierung einer reellen, quadratischen Form . . . . . . . . . . . . . 110<br />
Überlagerung von Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
12 Integration 113<br />
Linearität, Zwischenwertsatz, Ableitung nach <strong>der</strong> oberen Grenze . . . . . 114<br />
Hauptsatz <strong>der</strong> Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
Integral über komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
Substitution <strong>der</strong> Integrationsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
Höherdimensionales Integral, Mehrfachintegration . . . . . . . . . . . . . 123<br />
Vektorwertige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
Integralsubstitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
Flächenelement in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />
Volumenelement in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
Gravitationspotential einer kugelsymmetrischen Massenverteilung . . . . 129<br />
Metrische Größe von Kurven, Flächen <strong>und</strong> Volumina . . . . . . . . . . . 132<br />
Kugelfläche in n Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
13 Wirkungsprinzip 135<br />
Ideale Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
Weltlinie längster Dauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />
Än<strong>der</strong>ung von Jetfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
Prinzip <strong>der</strong> stationären Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
Symmetrien <strong>und</strong> Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
Brachistochrone <strong>und</strong> Tautochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
14 Maxwellgleichungen 151<br />
Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
Magnetfeld eines zylin<strong>der</strong>symmetrischen Stromfadens . . . . . . . . . . . 152<br />
Stokessche Schleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
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