Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

39
Aus 1 T = 1 und 1 = LL −1 folgt (L −1 ) T L T = 1. Das Transponierte des Inversen ist das
Inverse des Transponierten,
(L −1 ) T = (L T ) −1 . (3.56)
Die Determinanten von L und L T stimmen überein,
Man kann nämlich wegen
det L = det L T . (3.57)
L 1 π(1) L 2 π(2) · · · L n π(n) = L T π(1) 1 L T π(2) 2 · · · L T π(n) n (3.58)
die Determinante (3.34) auch als Determinante (3.30) der transponierten Matrix lesen.
Offensichtlich ändert Transponieren auch nicht die Spur, Sp L = Sp L T .
Metrische Größe von Volumen
Stehen in einem Euklidischen Vektorraum V die Kanten u 1 , u 2 , . . .u p eines p-Spats
senkrecht aufeinander und haben sie die Längen l 1 = √ u 1 ·u 1 , . . . , l p = √ u p ·u p ,
dann ist sein Volumen das Produkt dieser Längen, |u 1 ∧ u 2 ∧ . . . ∧ u p | = l 1 l 2 . . .l p . Es
ist die Wurzel der Determinante der Skalarproduktmatrix g u , deren Matrixelemente die
Skalarprodukte der Kantenvektoren sind,
|u 1 ∧ u 2 ∧ . . . ∧ u p | = √ | det g u | , (g u ) ij = u i ·u j . (3.59)
Dies bleibt richtig, auch wenn die Kantenvektoren schiefwinklig sind, denn dann sind sie
die Bilder u i = L(e i ) = e k L k i von senkrecht aufeinander stehenden Vektoren e i , die um
den Faktor det L weniger p-Volumen aufspannen.
Die Skalarproduktmatrix g u hängt wegen u i ·u j = (e k ·e l )L k iL l j = L T i k (e k · e l )L l j
durch g u = L T g e L mit g e zusammen und nach dem Determinantenproduktsatz gilt
√
| det gu | = √ | det(L T g e L)| = | detL| √ | det(g e )| = | det L||e 1 ∧ . . . ∧ e p |
(3.60)
= | det L e 1 ∧ . . . ∧ e p | = |L(e 1 ) ∧ . . . ∧ L(e p ))| = |u 1 ∧ . . . ∧ u p | .
Im Raum Λ p (V), der von p-Spaten aufgespannt wird, ist durch
(u 1 ∧u 2 ∧· · ·∧u p ) ·(v 1 ∧v 2 ∧· · ·∧v p ) = ∑ π∈S p
sign(π) (u 1 · v π(1) )(u 2 ·v π(2) ) . . .(u p ·v π(p) )
ein Skalarprodukt definiert, das ihn zu einem Euklidischen Raum macht.
(3.61)
Drehungen
Eine lineare Selbstabbildung in einem Euklidischen, reellen Vektorraum, die Längenquadrate
– und demnach Skalarprodukte, Längen und Winkel – invariant läßt, heißt
orthogonale Transformation oder Drehspiegelung. Wenn sie zudem das Vorzeichen des
Volumens nicht ändert, handelt es sich um eine Drehung.