Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

36 3 Lineare Abbildungen
denn die beide Seiten verschwinden nur dann nicht, wenn j 1 j 2 . . . j n eine Permutation von
1, 2, . . .n sind und sind dann das Vorzeichen dieser Permutation mal det L . Dies zeigt
den Determinantenproduktsatz, det(LM) = (det L)(detM) . Bei verketteten linearen
Abbildungen vergrößert sich das Volumen um das Produkt der Vergrößerungsfaktoren
der einzelnen Abbildungen.
det(LM) = ǫ i1 i 2 ...i n
L i 1
j1 M j 1 1 L i 2
j2 M j 2 2 · · · L i n
jn M j n n =
= ǫ i1 i 2 ...i n
L i 1
j1 L i 2
j2 · · · L i n
jn M j 1 1 M j 2 2 · · · M j n n =
= (det L) ǫ j1 j 2 ...j n
M j 1 1 M j 2 2 · · · M j n n = (det L)(detM)
(3.36)
Zusammen mit det(L −1 L) = det 1 = 1 folgt insbesondere 1 = (det L −1 )(detL), also
det(L −1 ) = 1
det L . (3.37)
Der Determinantenproduktsatz zeigt, daß die Determinante einer linearen Abbildung L
nicht von der Basis ⃗e 1 ,⃗e 2 . . .⃗e n mit Dualbasis f 1 , f 2 . . .f n , f i (⃗e j ) = δ i j , abhängt, in der
man die Matrix L mit Elementen L i j = f i (L(⃗e j )) angibt. Sei nämlich
⃗e ′
l = ⃗e j N j l (3.38)
eine andere Basis, dann ist die Matrix N invertierbar (vergleiche (3.24)) und
die zugehörige Dualbasis,
f ′k = N −1k i f i (3.39)
f ′k (⃗e ′
l) = N −1k i f i (⃗e j N j l) = N −1 k i δ i j N j l = N −1k i N i l = δ k l . (3.40)
In der Basis ⃗e 1 ′,⃗e
2 ′ . . .⃗e n ′ hat die linearen Abbildung L die Matrixelemente
L ′ k l = f ′ k (L(⃗e ′
l )) = N−1 k i f i (L(⃗e j N j l)) = N −1k i L i j N j l = (N −1 L N) k l (3.41)
des Produktes N −1 L N in der ursprünglichen Basis. Die Determinanten stimmen nach
Determinantenproduktsatz überein,
det(N −1 L N) = (det N) −1 (detL) (detN) = det L . (3.42)
Körperfeste Transformationen
Die Lage eines festen Körpers kann man angeben durch den Ort eines herausgegriffenen
Punktes, etwa des Schwerpunktes, den man als körperfesten Ursprung verwendet, und
durch drei weitere körperfeste Punkte, die nicht mit dem Ursprung in einer Ebene liegen.
Die Vektoren vom Urprung zu diesen drei Punkten definieren körperfeste Achsen e ′ 1, e ′ 2