Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Determinante
Ob in einem n-dimensionalen Raum n Vektoren linear unabhängig sind, zeigt sich an
dem Volumen, das sie aufspannen. Es verschwindet genau dann, wenn die Vektoren linear
abhängig sind.
Die Determinante einer linearen Abbildung L ist der Faktor, um den sie das Volumen
vergrößert,
L(⃗e 1 ) ∧ L(⃗e 2 ) ∧ . . . ∧ L(⃗e n ) = det L ·⃗e 1 ∧ ⃗e 2 ∧ . . . ∧ ⃗e n , (3.28)
zum Beispiel det 1 = 1. Der Wert der Determinante von L bestimmt, ob L invertierbar
ist. Das Inverse existiert (in Zeichen ∃L −1 ) genau dann, wenn die Determinante nicht
verschwindet,
∃L −1 ⇔ det L ≠ 0 . (3.29)
Deshalb heißt die Determinante Determinante. Sie ist durch (2.64) gegeben.
det L = ǫ i1 i 2 ...i n
L i 1 1 L i 2 2 . . . L i n n = ∑ π∈S n
sign(π) L π(1) 1 L π(2) 2 . . . L π(n) n (3.30)
Zum Beispiel ist die Determinante einer 2 × 2-Matrix L (2.14)
det L 2×2 = L 1 1L 2 2 − L 2 1L 1 2 (3.31)
und, dies ist die Flaschenregel 1 von Sarrus, die Determinante einer 3 ×3-Matrix L (2.25)
det L 3×3 = L 1 1L 2 2L 3 3+L 2 1L 3 2L 1 3+L 3 1L 1 2L 2 3−L 2 1L 1 2L 3 3−L 1 1L 3 2L 2 3−L 3 1L 2 2L 1 3 . (3.32)
Die Determinante einer n × n-Matrix besteht aus n! Summanden. Für Dreiecksmatrizen
∆, die unterhalb der Diagonalen verschwinden, (∆ i j = 0 für i > j), vereinfacht sie
sich zu einem Term det ∆ = ∆ 1 1 ∆ 2 2 · · ·∆ n n .
Sortieren wir die Faktoren eines Produktes von Matrixelementen verschiedener Spalten
nach dem Wert der Zeile, so ändert diese geänderte Reihenfolge nicht das Produkt,
L π(1) 1 L π(2) 2 · · · L π(n) n = L 1 π −1 (1) L 2 π −1 (2) · · · L n π −1 (n) . (3.33)
Da die Summe über π ∈ S n sich genauso über alle Permutationen erstreckt wie π −1 ∈ S n ,
und da sign(π) = sign(π −1 ) ist, ist die Determinante auch
detL = ∑ π∈S n
sign(π) L 1 π(1) L 2 π(2) · · · L n π(n) = ǫ i1 i 2 ...i n
L 1 i 1
L 2 i 2 · · · L n i n
. (3.34)
Sie ist antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Zeilen (oder zweier Spalten), denn
das Volumen a 1 ∧a 2 ∧. . .∧a n ist antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Vektoren.
Wegen der Antisymmetrie bei Vertauschen von Spalten gilt
ǫ i1 i 2 ...i n
L i 1
j1 L i 2
j2 · · · L i n
jn = ǫ j1 j 2 ...j n
det L , (3.35)
1 Schreibt man die 3 × 3-Matrix auf ein Etikett, das eine Flasche umhüllt, dann ist ihre Determinante
die Summe der Produkte des oberen Matrixelements mit dem rechts darunter stehenden und dem darunter
rechts stehenden Matrixelement minus der Summe der Produkte der schräg links untereinander
stehenden Matrixelemente.