Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

34 3 Lineare Abbildungen
Inverse Matrix
Zu manchen linearen Abbildungen L existiert das Inverse L −1 , L −1 L = 1,
L −1i k L k j = δ i j , (3.21)
zum Beispiel bei Drehstreckungen M die inverse Streckung und Rückdrehung M −1
( )
cosϕ − sin ϕ
M = r
, M −1 = 1 ( )
cosϕ sin ϕ
. (3.22)
sin ϕ cosϕ r − sin ϕ cos ϕ
Aber eine inverse Matrix existiert nicht immer, wie
( ) ( ) ( )
a b 0 1 0 a
=
c d 0 0 0 c
(3.23)
zeigt. Egal, wie man hier die Matrixelemente a, b, c, d wählt, erhält man als Produkt
nicht die 1-Matrix.
Wenn die Bilder einer Basis L(⃗e 1 ) = ⃗e 1 ′ . . . L(⃗e n) = ⃗e n ′ eine Basis bilden – dazu reicht
in endlich dimensionalen Räumen, daß die ⃗e i ′ linear unabhängig sind – dann existiert die
inverse Matrix L −1 , denn man kann jedes ⃗e k als Linearkombination der ⃗e i ′ schreiben,
L(⃗e j ) = ⃗e k L k j = ⃗e ′
j , ⃗e k = ⃗e ′
i Ni k , also ⃗e ′
j = ⃗e k L k j = ⃗e ′
i Ni k L k j (3.24)
und demnach, da die Vektoren ⃗e ′
i
eine Basis bilden,
N i k L k j = δ i j , N = L −1 . (3.25)
Die inverse Abbildung L −1 bildet ⃗e i ′ = L(⃗e i) auf ⃗e i ab. Demnach gilt L L −1 (⃗e i ′)
= ⃗e i ′.
Wenn die Vektoren ⃗e i ′ eine Basis bilden, gilt also auch L L−1 = 1, das heißt L = (L −1 ) −1 ,
L −1i k L k j = δ i j , L i k L −1 k j = δ i j . (3.26)
Einen unendlich dimensionalen Vektorraum V kann L auf einen Unterraum abbilden und
invertierbar sein, ohne daß ein Rechtsinverses existiert, zum Beispiel im Vektorraum
aller Polynome ∑ a n x n einer Variablen x mit Zahlenkoeffizienten a n die Abbildung
L( ∑ a n x n ) = ∑ a n x n+1 , die jedes Polynom mit x multipliziert. Ein Linksinverses ist
die Abbildung L −1 ( ∑ b n x n ) = ∑ b n+1 x n . Ein Rechtsinverses kann nicht existieren, da
L(R(a 0 )) nicht das x-unabhängige Polynom a 0 sein kann, egal auf welches Polynom R
die Zahl a 0 abbildet.
Sind die Bilder der Basisvektoren ⃗e 1 , ⃗e 2 . . . linear abhängig, sind also in 0 = L(⃗e i ) λ i
nicht alle λ i Null, dann wird wegen L(⃗e i ) λ i = L(⃗e i λ i ) der Vektor ⃗λ = ⃗e i λ i ≠ 0 ebenso
wie 0 auf 0 abgebildet, und L kann nicht invertierbar sein, weil 0 mehrere Urbilder hat.
Sind L und M invertierbar, dann auch L M,
denn (M −1 L −1 )(L M) = M −1 (L −1 L) M = M −1 M = 1.
M −1 L −1 = (L M) −1 , (3.27)