Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Die Differenz [A, B] = AB − BA ist der Kommutator von A mit B. A vertauscht oder
kommutiert mit B, falls AB = BA gilt, also der Kommutator [A, B] = 0 verschwindet.
Matrixmultiplikation ist assoziativ, A (B C) = (A B) C, und distributiv
(A (B C)) i j = A i k (B C) k j = A i k B k l C l j = (A B) i l C l j = ((A B) C) i j (3.12)
A (B + C) = A B + A C , A (λ B) = λ A B . (3.13)
Zur identischen Abbildung, 1 : ⃗a ↦→ ⃗a, gehört die 1-Matrix. Wegen 1(⃗e j ) = ⃗e j = ⃗e i δ i j
(1.28) sind ihre Matrixelemente
⎛ ⎞
1 0 · · · 0
{ 1 falls i = j
1 i j = δ i 0 1 · · · 0
j =
, 1 = ⎜
0 falls i ≠ j ⎝
.
. ..
⎟ , 1A = A1 = A . (3.14)
. ⎠
0 0 · · · 1
Zur Nullabbildung, 0 : ⃗a ↦→ 0, gehört die 0-Matrix
⎛ ⎞
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
0 = ⎜
⎝
.
. ..
⎟ , 0A = A0 = 0 . (3.15)
. ⎠
0 0 · · · 0
Permutiert eine lineare Abbildung D π die Basisvektoren, D π (⃗e j ) = ⃗e π(j) , π ∈ S n , so
sind ihre Matrixelemente
D π
i
j = δ i π(j) = δ π−1 (i)
j . (3.16)
Es ist ja π(j) = i genau dann, wenn j = π −1 (π(j)) = π −1 (i) ist. Eine Permutationsmatrix
hat in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen. Das Produkt zweier
Permutationsmatrizen D π und D π ′, π, π ′ ∈ S n , ist die Permutationsmatrix D π ′′, die zu
den hintereinander ausgeführten Permutationen, π ′′ = π ◦ π ′ , gehört,
D π D π ′ = D π◦π ′ , (D π D π ′) i j = δ π−1 (i)
k δ k π ′ (j) = δ π−1 (i)
π ′ (j) = δ i π(π ′ (j)) . (3.17)
Permutationsmatrizen sind eine Darstellung der Permutationen.
Drehungen D in n = 2 Dimensionen um einen Drehwinkel ϕ, D(⃗a) = ⃗a ′ , sind gegeben
durch
( )
⃗e 1 ′ = cosϕ⃗e 1 + sin ϕ⃗e 2 , cosϕ − sin ϕ
⃗e 2 ′ D =
,
= − sin ϕ⃗e 1 + cosϕ⃗e 2 , sin ϕ cosϕ
( ) ( ) ( ) ( )
a
′1 cosϕ − sin ϕ a
1 cosϕa
a ′2 =
sin ϕ cosϕ a 2 =
1 − sin ϕ a 2
sin ϕ a 1 + cosϕa 2 . (3.18)
Das Längenquadrat ist invariant unter Drehungen, (c := cosϕ , s := sin ϕ),
(c a 1 − sa 2 ) 2 + (sa 1 + c a 2 ) 2 = (a 1 ) 2 (c 2 + s 2 ) + (a 2 ) 2 (c 2 + s 2 ) = (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 . (3.19)
Demnach sind auch alle Skalarprodukte invariant, denn sie sind Differenzen invarianter
Längenquadrate (1.41),
⃗a ·⃗b = 1 4(
(⃗a + ⃗b) 2 − (⃗a − ⃗b) 2) . (3.20)
Längen und Winkel werden durch Drehungen nicht geändert.