Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Ebenso ergibt sich das wiederholte Kreuzprodukt. Es ist nicht assoziativ.
(⃗a × (⃗b ×⃗c)) i = ǫ ijn a j ǫ nkl b k c l = (δ ik δ jl − δ il δ jk )a j b k c l = b i a j c j − c i a j b j
⃗a × (⃗b ×⃗c) = ⃗b(⃗a ·⃗c) − ⃗c(⃗a ·⃗b)
(2.53)
Dichten und Spate
In n-dimensionalen Vektorräumen V sind p-Spate (p ≤ n), auch Parallelflach oder
Parallelepiped genannt, Punktmengen, die von einem Eckpunkt e ausgehend von Kantenvektoren
u 1 , u 2 , . . .u p , aufgespannt werden,
{x : x = e +
p∑
λ i u i mit 0 ≤ λ i ≤ 1} . (2.54)
i=1
Das p-Volumen u 1 ∧ u 2 ∧ . . . ∧ u p des p-Spats definieren wir analog zum zwei- und
dreidimensionalen Spat als linear in jedem der Kantenvektoren. Es wechselt sein Vorzeichen,
wenn wir eine Kante, etwa u 1 in −u 1 , spiegeln oder wenn wir zwei Kantenvektoren
vertauschen. Wir betrachten also Volumen und Hohlvolumen, die man miteinander verrechnen
kann.
Wegen der Multilinearität ist das p-Volumen des p-Spats eine p-fache Summe der
Volumina von Basis-p-Spaten 4 e i1 ∧ e i2 . . . ∧ e ip mit i 1 < i 2 . . . < i p , denn Basisspate
mit permutierten Kanten haben ein bis auf das Vorzeichen der Permutation gleiches
Volumen,
i
u 1 ∧ u 2 . . . ∧ u p = (e i1 ∧ e i2 . . . ∧ e ip ) u 1 i
1 u 2 i
2 . . .u p p (2.55)
∑
= (e i1 ∧ e i2 . . . ∧ e ip ) ∑ i
sign(π) (u π(1) i
1 u π(2) i
2 . . .u π (p) p ) .
i 1