Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Wie c ∧ a ∧ b = c ·(a × b) zeigt, steht das Kreuzprodukt senkrecht auf jedem seiner
Faktoren,
0 = a∧a∧b = a ·(a ×b) , 0 = b∧a∧b = b ·(a ×b) d.h. a ⊥ (a ×b) , b ⊥ (a ×b) .
(2.40)
Sein Betrag ist, wie wir gleich bestätigen werden (2.52), das Produkt der Beträge von a
und b mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels
|a × b| = |a| |b| sin(∢(a, b)) , a, b, a × b rechtshändig . (2.41)
Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren a und b ist also derjenige Vektor, der sie, falls
sie linear unabhängig sind, zu einer rechtshändigen Basis a, b, a ×b ergänzt, und dessen
Betrag der Betrag der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms ist.
Das Kreuzprodukt charakterisiert nicht nur orientierte Parallelogramme. Es tritt auch
bei jeder Drehung D α⃗n um eine Achse ⃗n, ⃗n 2 = 1, um einen Winkel α auf. Drehungen sind
linear. Zerlegt man einen Vektor ⃗u in seinen zur Drehachse ⃗n parallelen und senkrechten
Anteil (1.38),
⃗u = ⃗u ‖ + ⃗u ⊥ , ⃗u ‖ = ⃗n(⃗n ·⃗u) , ⃗u ⊥ = ⃗u − ⃗n(⃗n ·⃗u) , (2.42)
so bleibt ⃗u ‖ unverändert und ⃗u ⊥ wird in der zu ⃗n senkrechten Ebene, die von ⃗u ⊥ und
⃗n × ⃗u = ⃗n × ⃗u ⊥ aufgespannt wird, auf (cosα)⃗u ⊥ + (sin α)⃗n × ⃗u gedreht,
D α⃗n : ⃗u ↦→ ⃗n(⃗n ·⃗u) + (cosα)(⃗u − ⃗n(⃗n ·⃗u)) + (sinα) ⃗n × ⃗u . (2.43)
Das Kreuzprodukt tritt in der Lorentzkraft ⃗F(t,⃗x,⃗v) = q (⃗E(t,⃗x)+⃗v×⃗B(t,⃗x)) auf. Sie
wird vom elektrischen Feld ⃗E(t,⃗x) und vom magnetischen Feld ⃗B(t,⃗x) auf ein Teilchen
mit Ladung q ausgeübt, das zur Zeit t mit Geschwindigkeit ⃗v den Ort ⃗x durchläuft.
Der Drehimpuls ⃗L = ⃗r×⃗p eines Teilchens ist das Kreuzprodukt seines Orts mit seinem
Impuls. Die Änderung des Drehimpulses wird vom Drehmoment ⃗M = ⃗r ×⃗F bewirkt.
Falls das Drehmoment jederzeit verschwindet, ist der Drehimpuls erhalten, das heißt,
er stimmt zu jeder Zeit t mit seinem Startwert überein, ⃗L(t) = ⃗L(0). Dann ist die Bahn
t ↦→ ⃗r(t) eben. Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf jedem seiner Faktoren, also
ist ⃗r(t) ·⃗L(t) = 0. Wegen ⃗L(t) = ⃗L(0) ist ⃗r(t) jederzeit senkrecht zu ⃗L(0), also aus der
Ebene durch den Ursprung mit Normalenvektor ⃗L(0).
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren dreht sich so wie ein Vektor, genauer: das Kreuzprodukt
gedrehter Vektoren ist das gedrehte Kreuzprodukt der Vektoren. Dabei sind
Drehungen Transformationen D, die Längenquadrate, und daher Skalarprodukte, und
Volumen invariant lassen.
Denn weil sich das Volumen von irgend drei Vektoren c ∧ a ∧ b = ⃗c ·(⃗a ×⃗b) und das
Skalarprodukt zweier Vektoren c ·d nicht bei einer Drehung D ändern,
⃗c · (⃗a × ⃗b) = (D⃗c) ·(D⃗a) × (D⃗b) , ⃗c ·(⃗a × ⃗b) = (D⃗c) ·D(⃗a × ⃗b) , (2.44)
verschwindet (D⃗c) ·((D⃗a)
× (D⃗b) − D(⃗a × ⃗b) ) für alle Vektoren ⃗c ′ = D⃗c. Daher verschwindet
(D⃗a)×(D⃗b)−D(⃗a×⃗b) und es ist das Kreuzprodukt von gedrehten Vektoren
dem gedrehten Kreuzprodukt der Vektoren gleich,
(D⃗a) × (D⃗b) = D(⃗a × ⃗b) . (2.45)