Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Der Faktor e in (2.34) ist erforderlich, damit J(a, b), wie die Notation behauptet,
eine Funktion der drei Vektoren ist und nicht davon abhängt, in welcher Basis man die
Vektoren angibt.
In 3 Dimensionen ist jede Funktion, die wie a ∧ b ∧ c linear von 3 Vektoren abhängt,
beispielsweise die Ladung Q(a, b, c) im Spat mit Kantenvektoren a, b und c,
und die total antisymmetrisch unter Paarvertauschungen ist, durch ihren Wert auf dem
Basisspat festgelegt. Sie sind ja durch ihre Werte auf Basisvektoren e i , e j , e k bestimmt,
von Null verschieden aber nur, wenn die Argumente e i , e j , e k eine Permutation π von
e 1 , e 2 , e 3 sind und haben dann den Wert, Signum dieser Permutation mal dem Wert für
e 1 , e 2 , e 3 : Q(e π(1) , e π(2) , e π(3) ) = sign(π) Q(e 1 , e 2 , e 3 ). Das Verhältnis von Q(e 1 , e 2 , e 3 )
zum Basisvolumen e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ist die Ladungsdichte ρ, Q(a, b, c) = ρ a ∧ b ∧ c .
Teilchen in einem homogenen Teilchenstrom, die mit Geschwindigkeit v das Parallelogramm
a ∧ b in einer Zeit t queren, füllen das Volumen tv ∧ a ∧ b. Ihre Anzahl
N(t v, a, b) = ρ t v ∧ a ∧ b ist dieses Volumen, multipliziert mit der Teilchendichte 3 ρ.
Der Teilchenstrom J(a, b) ist diese Anzahl pro Zeit, J(a, b) = ρ v ∧ a ∧ b. Also ist die
Teilchenstromdichte (wir schreiben der Deutlichkeit wegen Vektorpfeile) Teilchendichte
mal Teilchengeschwindigkeit,
⃗j = ρ⃗v . (2.36)
Dies ist richtig für eine Teilchensorte. Beim elektrischen Strom mehrerer Teilchensorten
müssen die einzelnen Ströme addiert werden. Diese Summe ist nicht die Gesamtladungsdichte
mal einer mittleren Geschwindigkeit. So ist beispielsweise Kupfer ungeladen,
ρ Ionen +ρ Elektronen = 0. Dennoch fließt wegen der unterschiedlichen Beweglichkeit von Ionen
und Elektronen bei angelegter Spannung Strom.
Kreuzprodukt
Im dreidimensionalen Euklidischen Raum kann man (2.35) auch so lesen, daß das orientierte
Parallelogramm a∧b einen Vektor a ×b = −(b ×a) definiert, das Kreuzprodukt
von a mit b (Mathematiker kennen es als das Hodge-Duale der Zweiform a∧b), dessen
Skalarprodukt mit der Stromdichte j den Strom durch das Parallelogramm ergibt,
a × b = e e l g −1li ǫ ijk a j b k . (2.37)
Dabei sind g −1 li Koeffizienten, die mit g ml = e m ·e l summiert δ m i = g ml g −1li ergeben
(man berechnet sie mit (3.74)). Es gilt ja
c ·(a × b) = c m (e m ·e l ) e g −1li ǫ ijk a j b k = e c m g ml g −1 li ǫ ijk a j b k
= e c m δ m i ǫ ijk a j b k = e ǫ ijk c i a j b k = c ∧ a ∧ b .
(2.38)
Der Ausdruck für das Kreuzprodukt ist komplizierter als in vielen Lehrbüchern, damit
er, wie die Notation behauptet, nur von den Vektoren a und b abhängt und nicht davon,
in welcher Basis man a und b angibt. In jeder Orthonormalbasis ist g ij = δ ij = g −1ij
und e = 1. Dann vereinfachen sich die Komponenten des Kreuzprodukts zu
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
(a × b) 1 a 2 b 3 − a 3 b 2
⎝(a × b) 2 ⎠ = ⎝a 3 b 1 − a 1 b 3 ⎠ . (2.39)
(a × b) 3 a 1 b 2 − a 2 b 1
3 ρ ist der griechische Buchstabe rho.