Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Stromdichte
Jede Flächenstromdichte J ordnet einem Parallelogramm mit Kantenvektoren a und b
den Strom J(a, b) zu, der es durchfließt. Ist die Stromdichte konstant, so ist der Strom
linear in den Kantenvektoren,
J(λ a + b, c) = λ J(a, c) + J(b, c) , J(a, λ b + c) = λ J(a, b) + J(a, c) . (2.30)
Der Strom durch entartete Parallelogramme verschwindet, J(a, a) = 0, und wechselt
daher sein Vorzeichen, wenn man a und b vertauscht (2.20),
0 = J(a+b, a+b) = J(a, a)+J(a, b)+J(b, a)+J(b, b) = 0+J(a, b)+J(b, a)+0 . (2.31)
Da der Strom sein Vorzeichen wechselt, wenn man a in −a spiegelt oder wenn man a
und b vertauscht, (was der Spiegelung an der Winkelhalbierenden entspricht) rechnen
wir mit Strom durch Flächen und Lochflächen, die man mit entgegengesetztem Vorzeichen
miteinander verrechnen kann. Beispielsweise wirkt sich eine Abdeckung in der
Querschnittsfläche negativ auf den Strom aus.
Schreiben wir a und b als Linearkombinationen der Basisvektoren e 1 , e 2 , . . ., so erweist
sich der Strom, weil er bilinear ist, als eine Doppelsumme
J(a, b) = J(e i a i , e j b j ) = J(e i , e j ) a i b j = J ij a i b j , J ij = J(e i , e j ) = −J ji . (2.32)
In ihr verschwinden wegen der Antisymmetrie J 11 = −J 11 = 0 , J 22 = −J 22 = 0, . . . und
wegen J 12 = −J 21 , J 13 = −J 31 , . . . sind die Komponenten J ij = J(e i , e j ), das sind die
Ströme durch Parallelogramme mit Basiskanten, nur für i < j unabhängig J ij = −J ji .
Der Strom durch (a, b) ist daher expliziter
J(a, b) = ∑ i