Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Abbildung 2.3 zeigt die Additivität (2.19) der Flächen von Parallelogrammen mit
einem gemeinsamen Kantenvektor c , der gestrichelt dargestellt ist. In der rechten Abbildung
wird zu der Fläche a ∧ c die Lochfläche b ∧ c addiert. Das Ergebnis kann, nach
Verrechnung von Restloch mit Restfläche, in (a+b)∧c geschert werden, falls a , b und
c in derselben Ebene liegen.
Falls allerdings a ∧ c und b ∧ c zwei Flächen eines Giebeldachs bezeichnen, so hat,
wie jeder Dachdecker weiß, die Dachfläche nicht die gleiche Größe wie die Grundfläche
(a + b) ∧ c. Die Additivität (2.19) gilt für die Querschnittsfläche, wie sie für Ströme
durch Parallelogrammflächen entscheidend ist. Die Regenmenge, die auf ein Dach fällt,
hängt nur von der projizierten Grundfläche ab, nicht von der Dachneigung. Ebenso gilt
(2.19), wenn wir das Volumen eines Spats bedenken, der von parallelen Parallelogrammen
berandet wird. Was ein spatförmiges Haus im Dach an Volumen mehr hat, fehlt im Keller.
In beiden Fällen gilt das Cavalierische Prinzip, daß wir die Fläche a ∧ c + b ∧ c in die
Fläche (a + b) ∧ c scheren können, ohne den Fluß durch die Fläche oder das Volumen
des Spats zu ändern.
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Abbildung 2.3: Addition von Parallelogrammflächen
Ohne diese Einschränkung auf Querschnittsflächen, beispielsweise für die Größe der
Fläche selbst, gilt (2.19) nur mit einem Fehler, wenn die Flächen nicht in derselben Ebene
liegen. Nähert man eine glatte, gewölbte Fläche durch die Summe kleiner Dreiecksflächen
(halbe Parallelogramme), deren Ecken auf der gewölbten Fläche liegen (Parallelogramme
würden normalerweise nicht mit allen Ecken auf der gewölbten Fläche liegen, sondern
wie ein Stuhl auf unebenem Boden ”
kippeln“), so wird der Fehler umso kleiner, je feiner
man die Zerlegung der gewölbten Fläche wählt und verschwindet bei glatten Flächen im
Grenzfall immer feiner gewählter Zerlegungen. Demnach gilt (2.19) auch, wenn man die
Größe von glatten, gewölbten Flächen mit feiner und feiner gewählten Zerlegungen in
Dreiecksflächen ermittelt.
Mit seiner Linearität und seiner Antisymmetrie läßt sich die Parallelogrammfläche
a∧b leicht als Vielfaches der Fläche e 1 ∧e 2 zweier Vektoren e 1 und e 2 angeben, die die
Ebene aufspannen, in der a und b liegen. Denn in der Doppelsumme (e i a i ) ∧ (e j b j ) =
(e i ∧ e j ) a i b j fallen wegen e i ∧ e j = −e j ∧ e i die Terme mit e 1 ∧ e 1 und e 2 ∧ e 2 weg
und wegen e 2 ∧ e 1 = −e 1 ∧ e 2 erhält man (2.14).