Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Zyklische Vertauschungen einer geraden Zahl von Elementen sind ungerade, zyklische
Vertauschungen einer ungeraden Zahl von Elementen sind gerade.
Parallelogramme und Spate
Bei Inhalten von Warenkörben übersieht man, daß sie Elementen eines Vektorraumes
entsprechen, wenn man nur an positive Anzahlen denkt und Warenrückgabe oder Anlieferung
als etwas ganz anderes als Einkaufen ansieht, als ob man das nicht gegenseitig
verrechnen könnte.
Ebenso denkt man bei Addition von Flächen gewöhnlich nur an positive Flächen. Es
gibt aber auch negative Flächen, zum Beispiel Löcher in der Hose, die man genauso
wie Stoffflecken addieren kann. Flickt man mit einem Flecken ein Loch, so hebt sich die
Lochfläche und die Fleckenfläche gegenseitig weg und es bleibt je nach Größe ein Rest
Flecken oder Loch. Die Fläche von Löchern ist negative Fläche von Flecken.
Welche der Flächen, Loch oder Flecken, man als positiv betrachtet, ist unerheblich.
Bei einer Lochblende zählt man die Öffnung – das Loch in der Kamera, durch das Licht
einfallen kann – gemeinhin als positiv. Ein Flecken auf der Linse vermindert die Öffnung.
Er wirkt als Loch in der Lochblende.
Auch bei Funktionsgraphen zählt man die Fläche oberhalb der x-Achse als positiv,
unterhalb negativ und definiert das Integral von a bis b als Negatives des Integrals über
das rückwärts durchlaufene Intervall von b nach a (12.7).
Der Einfachheit wegen betrachten wir die Flächen von Parallelogrammen. Wir bezeichnen
sie durch die Verschiebungsvektoren a und b, die von einem Eckpunkt e ausgehen.
Das Parallelogramm besteht aus den Punkten 2
{x : x = e + λ a + χb , 0 ≤ λ ≤ 1 , 0 ≤ χ ≤ 1} . (2.9)
Wir bezeichnen seine Flächengröße mit
a ∧ b (2.10)
(gesprochen ”
a Dach b“ oder ”
a Keil b“ oder ”
a mal b“) und vereinbaren, daß dies Produkt
positive Fläche bezeichnet, wenn b so wie die y-Achse zur x-Achse links von a liegt, und
daß es sich um Lochfläche handelt, also um negative Fläche, wenn b rechts von a liegt.
Liegt b in Richtung von a , verschwindet die Fläche,
a ∧ a = 0 . (2.11)
Vervielfältig man eine Kante, vervielfältigt sich die Flächengröße,
a ∧ (λ b) = λ(a ∧ b) = (λ a) ∧ b . (2.12)
Dies gilt für unsere Festlegung von Fläche und Lochfläche auch für negative Faktoren.
Vergrößert man beide Kantenvektoren, wächst sie quadratisch, (λ a)∧(λ b) = λ 2 (a∧b) .
2 χ ist der griechische Buchstabe chi.