Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Sei π ′ = (1)(2, 5)(3, 4), dann bildet das Produkt π ′ ◦ π = (1)(2, 5)(3, 4)(1, 2)(3, 5)(4)
von rechts nach links gelesen, 1 zunächst auf 2 ab. Diese 2 wird durch die davon links
stehenden Zykel auf 5 abgebildet, insgesamt wird also 1 auf 5 abgebildet. 5 wird, wieder
von rechts nach links lesend, auf 3 und 3 danach auf 4 abgebildet, also 5 auf 4. So
fortfahrend erschließt man das Produkt der hintereinander ausgeführten Permutationen
(1)(2, 5)(3, 4)(1, 2)(3, 5)(4) = (1, 5, 4, 3, 2). Zykel der Länge 1 braucht man nicht notieren,
da sie nichts verändern. Die inverse Permutation besteht aus den rückwärts gelesenen
Zykeln, (1, 3, 4) −1 = (4, 3, 1).
Die Permutationsgruppe wird von Nachbarvertauschungen (l, l+1) erzeugt. Sie bilden
l ∈ {1, 2, . . ., n−1} auf l+1 und l+1 auf l ab und lassen alle anderen Zahlen unverändert.
Jede Permutation kann als hintereinander ausführte Nachbarvertauschungen geschrieben
werden.
Die Fehlstellung a(π) zählt in π(1), π(2) . . .π(n) ab, wie oft von links gelesen ein π(i)
größer als ein rechts davon stehendes π(j) ist. So ist a(2, 1, 5, 4, 3) = 1+0+2+1+0, denn
2 ist größer als 1, 5 ist größer als 4 und 3, und 4 ist größer als 3. Mit der Stufenfunktion 1
schreibt sich die Fehlstellung als
Θ(x) =
{
0 , falls x ≤ 0 ,
1 , falls x > 0 ,
(2.5)
a(π) = ∑ i