Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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wobei wir abkürzend P = Ô−1 C und Q = O −1 B schreiben. S und Ŝ sind invertierbar
und symmetrisch, O und Ô sind orthogonale Matrizen. Gleichung (24.103) besagt
S 2 = 1 + P T P , SQ = P T Ŝ , Ŝ 2 = 1 + Q T Q . (24.111)
Setzen wir Q = S −1 P T Ŝ und S −2 = (1 + P T P) −1 in der letzten Gleichung ein, so folgt
Ŝ 2 = 1 + ŜPS−1 S −1 P T Ŝ oder 1 = Ŝ−2 + P(1 + P T P) −1 P T . (24.112)
Was dies für Ŝ−2 besagt, finden wir heraus, indem wir die Matrizen auf eine Basis,
nämlich die Eigenvektoren w von PP T anwenden, PP T w = λw. Wenn P T w nicht verschwindet,
ist P T w Eigenvektor von P T P, (P T P)P T w = λP T w, zu demselben Eigenwert.
Dann gilt
P(1 + P T P) −1 P T w = P 1
1 + λ PT w = λ
1 + λ w . (24.113)
Dies gilt auch, wenn P T w verschwindet, denn dann ist PP T w = 0, also λ = 0. In (24.112)
eingesetzt ergibt sich 1 w = 1+λ Ŝ−2 w oder Ŝ2 w = (1 + λ)w. Also ist
Ŝ 2 = 1 + PP T . (24.114)
Dies gilt, wenn wir Ŝ auf Eigenvektoren von PPT anwenden. Da sie eine Basis in R q
bilden, gilt dies auch angewendet auf einen beliebigen Vektor, also als Matrixgleichung.
Aus gleichen Grund ist, angewendet auf Eigenvektoren von PP T und demnach für alle
Vektoren,
Q = S −1 P T Ŝ = √ 1 + P T P −1 P T√ 1 + PP T = P T . (24.115)
Also ist jede Lorentzmatrix eindeutig durch ein Paar von Drehspiegelungen O ∈ O(p),
Ô ∈ O(q) und eine drehungsfreie Lorentztransformation L P , L P = (L P ) T , gegeben, die
durch eine Matrix P mit q Zeilen und p Spalten bestimmt ist
( (√ )
O 1 + PT P P
Λ = L
Ô)
P , L P =
√ T
. (24.116)
P 1 + PP
T
Da q × p Matrizen P den Vektorraum R qp bilden, gehört zu jeder Lorentztransformation
genau ein Punkt in der Mannigfaltigkeit O(p) × O(q) × R qp , die aus Tripeln
(O, Ô, P) besteht. Da Rqp zusammenhängend ist und die Drehspiegelungen jeweils zwei
Zusammenhangskomponenten haben, hat O(p, q) mit (q p) > 0 genau vier Zusammenhangskomponenten.
Lorentztransformationen Λ mit det O = detÔ = 1 erhalten die Orientierung der
zeitartigen und der raumartigen Richtungen und bilden die eigentliche Lorentzgruppe
SO(p, q) ↑ , die zusammenhängend ist. Die anderen Zusammenhangskomponenten von
O(p, q) erhält man durch Multiplikation mit der Zeitumkehr T und mit der Raumspiegelung
P, die eine ungerade Anzahl zeitlicher oder räumlicher Koordinaten spiegeln,
sowie mit TP. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1
1
1
T = ⎜
⎝
..
⎟ . ⎠ , P = . .. ⎜ ⎟ (24.117)
⎝ 1 ⎠
1
−1