Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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die das Skalarprodukt x ·y invariant lassen. Es ist in Matrixschreibweise x ·y = x T η y.
Dabei ist η eine symmetrische, invertierbare Matrix, die bei geeigneter Wahl der Basis
diagonal ist, und die p positive und q negative Diagonalelemente hat (24.20). Lorentztransformationen
gehören also zu den Matrizen Λ, die für alle x und alle y die Gleichung
(Λx) T η Λy = x T η y und demnach die Matrixgleichung
erfüllen. Nehmen wir hiervon die Determinante, so folgt
Λ T ηΛ = η (24.103)
(detΛ) 2 = 1 (24.104)
wegen det(Λ T η Λ) = (detΛ T )(detη)(detΛ) und wegen detΛ T = det Λ.
Die Determinante einer Lorentztransformation kann also nur die Werte +1 oder −1
haben. Die speziellen Transformationen Λ, deren Determinante den Wert 1 hat, bilden
die spezielle, orthogonale Gruppe SO(p, q), oder SO(N), falls p = 0 oder q = 0 ist.
Für (q p) > 0 ist die Gruppe O(p, q) die Mannigfaltigkeit O(p) × O(q) × R qp und
hat vier Zusammenhangskomponenten.
Um dies zu zeigen, zerlegen wir die (p + q) × (p + q)-Matrizen η und Λ
( ( )
1 A B
η = , Λ =
(24.105)
−1)
C D
in einen p × p -Block 1 und A, einen q × q -Block −1 und D, einen q × p -Block C und
einen p × q -Block B und schreiben (24.103) aus
A T A = 1 + C T C , D T D = 1 + B T B , A T B = C T D . (24.106)
Da C T C nicht negative Eigenwerte hat, hat 1 + C T C Eigenwerte, die nicht kleiner als 1
sind. Also ist A invertierbar, (detA) 2 = det(1+C T C) ≥ 1, und ebenso D, (detD) 2 ≥ 1.
Jede reelle, invertierbare Matrix A kann eindeutig in ein Produkt einer orthogonalen
Matrix O, O T = O −1 , mit einer positiv definiten, symmetrischen Matrix S, S = S T ,
zerlegt werden,
A = OS . (24.107)
Denn A T A definiert eine symmetrische Matrix S 2 mit positiven Eigenwerten λ i > 0,
i = 1, . . .p, und dadurch auch die positive, symmetrische Matrix
S = √ A T A , S = S T , (24.108)
mit denselben Eigenvektoren wie S 2 und den positiven Eigenwerten √ λ i . Die Matrix
O = AS −1 , O T = O −1 , (24.109)
ist orthogonal, wie S T−1 A T AS −1 = S −1 S 2 S −1 = 1 zeigt.
Da A und D invertierbar sind, kann Λ (24.105) eindeutig zerlegt werden
( ) ( )
O S Q
Λ =
Ô P Ŝ , (24.110)