Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

263
Dabei ist u durch ein gegebenes ˆk, ˆk = ˆk † ≠ 0, det ˆk = 0, bis auf eine Phase bestimmt.
Lorentztransformationen ändern ˆk α ˙β
= u α u ∗˙β in ˆk ′ α ˙β = M α γ M ∗˙β
˙δ k γ˙δ
(24.69) und
transformieren demnach u in u ′ α = M β α u β
( ) ( ) ( )
u
′
1 a u1 + b u
=
2 a b
, M = , a, b, c, d ∈ C , ad − bc = 1 . (24.97)
c u 1 + d u 2 c d
u ′ 2
Einen zweidimensionalen, komplexen Vektor, der wie u linear unter M ∈ SL(2, C) transformiert,
nennen wir Spinor.
Das Verhältnis z = u 1 /u 2 der Komponenten des zum Lichtstrahl gehörigen Spinors
hängt umkehrbar eindeutig mit der Richtung ⃗e zusammen, aus der man den Lichtstrahl
einfallen sieht, der Real- und der Imaginärteil von 1/z sind stereographische
Koordinaten (5.27) von S 2 . Denn der Wellenvektor eines Lichtstrahls hat die Form
(k 0 ,⃗k) = k 0 (1, −⃗e). Drücken wir die Richtung wie in (5.30) durch die Winkel θ und ϕ
aus, ⃗e = (sin θ cosϕ, sinθsin ϕ, cosθ), und verwenden wir die trigonometrischen Identität
so ergibt sich
1 + cosθ
sin θ
= 1 + cos2 (θ/2) − sin 2 (θ/2)
2 cos(θ/2) sin(θ/2)
= cot(θ/2) , (24.98)
z = u 1
= − k0 − k 3
u 2 k 1 + i k = 1 + cosθ
2 sin θ e = cot θ i ϕ 2 e−i ϕ . (24.99)
Da die Richtung z eines Lichtstrahls das Verhältnis von Spinorkomponenten ist, ändern
es Lorentztransformationen Λ durch die zum Matrixpaar ±M(Λ) ∈ SL(2, C)/Z 2
gehörige Möbiustransformation
T M : z ↦→ a z + b
c z + d . (24.100)
Aberration und Drehung sind Möbiustransformationen von z = cot θ 2 e−i ϕ .
Zu gegebener Möbiustransformation mit Koeffizienten a, b, c, d ∈ C gehört jeweils
ein Paar von linearen Transformationen mit Matrizen ±M. Die Möbiusgruppe ist zur
Gruppe SL(2, C)/Z 2 und demnach zur eigentlichen Lorentzgruppe SO(1, 3) ↑ isomorph.
Sind z 1 , z 2 , z 3 drei verschieden Punkte der Riemannschen Zahlenkugel C ∪ {∞} und
sind w 1 , w 2 , w 3 ebenfalls verschieden, dann [17] gibt es genau eine Möbiustransformation
T : z ↦→ w(z) ,
(w − w 1 ) (w 2 − w 3 )
(w − w 2 ) (w 1 − w 3 ) = (z − z 1) (z 2 − z 3 )
(z − z 2 ) (z 1 − z 3 ) , (24.101)
die z 1 in w 1 = w(z 1 ), z 2 in w 2 = w(z 2 ) und z 3 in w 3 = w(z 3 ) überführt. Demnach gibt es
an einem Ort genau einen Beobachter, der drei vorgegebene Sterne in drei vorgegebenen
Richtungen sieht. Die Örter der anderen Sterne liegen dann fest.
Die Lorentzgruppe in N Dimensionen
Die Lorentzgruppe O(p, q) besteht aus den reellen, linearen Transformationen Λ der
Punkte x des N-dimensionalen Minkowskiraumes R p,q , N = p + q,
x ′ = Λ x , (24.102)