Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Zur Berechnung der Transformation von ˆk ⊥ brauchen wir nur, daß ˆk ⊥ mit H ∝ ⃗n⃗σ
antivertauscht (24.87), ˆk ⊥ H = −H ˆk ⊥ , weil ⃗k ⊥ und ⃗n senkrecht aufeinander stehen,
Die Matrix ˆk ‖ vertauscht mit e H . Wegen (⃗n⃗σ) 2 = 1 gilt
e Hˆk⊥ e H = e H e −Hˆk⊥ = ˆk ⊥ . (24.91)
e Hˆk‖ e H = ˆk ‖ e 2H = (k 0 − k ‖ ⃗n⃗σ) (coshβ − (sinh β)⃗n⃗σ)
= ( ) ( )
(coshβ) k 0 + (sinh β) k ‖ − (sinh β) k 0 + (cosh β) k ‖ ⃗n⃗σ (24.92)
= k ′0 − k ′ ‖ ⃗n⃗σ .
Hieraus lesen wir ab ( ) k
′0
=
k ′ ‖
( ) ( )
cosh β sinh β k
0
sinh β cosh β k ‖
. (24.93)
Der zu ⃗n senkrechte Anteil ⃗k ⊥ bleibt unverändert.
Dies ist die drehungsfreie Lorentztransformation in ⃗n-Richtung mit Geschwindigkeit
v = tanhβ. Bis auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit stimmt diese Transformation
mit der passiven Lorentztransformation (6.14) überein.
Anders als bei Drehungen oder drehungsfreien Lorentztransformationen kann nicht
jede Matrix M ∈ SL(2, C) als Exponentialreihe einer infinitesimalen Transformation
N = exp((⃗k + i⃗l )⃗σ) = cosh z + sinh z
z
geschrieben werden. Die Ausnahmen sind von der Form
M =
( )
−1 b
0 −1
(⃗k + i⃗l )⃗σ , (⃗k + i⃗l ) 2 = z 2 , (24.94)
, b ≠ 0 . (24.95)
Denn damit M = N gelten kann, muß sinhz von Null verschieden sein, sonst wäre N
z
diagonal. Damit die Hauptdiagonalelemente übereinstimmen, muß k 3 = l 3 = 0 sein.
N 12 = 0 besagt k 1 +il 1 +i(k 2 +il 2 ) = 0. Als Folge ist z = 0 und N 11 = cosh z = 1 ≠ M 11 .
Möbiustransformationen von Lichtstrahlen
Für jeden Wellenvektor k m eines Lichtstrahls verschwindet die Determinante der Matrix
ˆk = k m η mn σ n , denn sie ist das Längenquadrat des Vierervektors k (24.73) und k ist
lichtartig, k 2 = 0. Weil die Matrix ˆk nur Rang 1 hat, lassen sich ihre Matrixelemente
als Produkte ˆk α ˙β
= u α u ∗˙β , α, ˙β ∈ {1, 2}, der Komponenten eines zweidimensionalen,
komplexen Vektors u schreiben
( ) ( ) ( )
k 0 − k 3 −k 1 + i k 2 u1 (u )
−k 1 − i k 2 k 0 + k 3 ∗
=
u 1 , u ∗ u1
2 ,
2 u 2
(√ )
= e i γ k0 − k 3
− √ k1 +i k 2
k 0 −k 3
. (24.96)