Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

259
Denn M † M ist hermitesch und hat eine zugehörige Orthonormalbasis von Eigenvektoren
mit reellen Eigenwerten (20.19). Kein Eigenwert λ verschwindet, denn M ist invertierbar.
Vielmehr ist der zum Eigenvektor u gehörige Eigenwert von M † M positiv wegen
λ (u, u) = (u, M † Mu) = (Mu, Mu) und weil (u, u) und (v, v) mit v = Mu positiv sind.
Also ist die hermitesche Abbildung H wohldefiniert, die jeden dieser Eigenvektoren mit
dem zugehörigen Eigenwert 1/2 log λ streckt,
M † M = e 2H . (24.76)
Ebenso ist die hermitesche Abbildung e −H definiert, die jeden Eigenvektor u von M † M
mit dem zugehörigen 1/ √ λ streckt. Aber dann ist U = Me −H unitär, wie man einfach
nachrechnet: Die Abbildung
U † U = e −H M † Me −H (24.77)
bildet jeden Eigenvektor u auf sich ab, denn u wird um 1/ √ λ, danach um λ und schließlich
wieder um 1/ √ λ gestreckt. Da die Eigenvektoren eine Basis bilden, ist U † U = 1,
also U = Me −H unitär. Damit ist M = Ue H (24.75) gezeigt.
Weil jede invertierbare, komplexe Matrix M eindeutig zu einem Paar (U, H) einer unitären
und einer hermiteschen Matrix gehört und weil die hermiteschen N × N-Matrizen
einen reellen, N 2 -dimensionalen Vektorraum bilden, ist die Gruppe GL(N, C) in N komplexen
Dimensionen die Mannigfaltigkeit U(N) × R N2 .
Hat die Determinante von M den speziellen Wert 1, dann ist det U dete H = 1. Es
ist aber det U das Produkt der Eigenwerte von U, die auf dem komplexen Einheitskreis
liegen, also eine komplexe Zahl e ib vom Betrag 1. Die Determinante von e H ist eine
positive Zahl e a , denn die Eigenwerte von e H sind von der Form e α , wobei α ein reeller
Eigenwert von H ist. Das Produkt der Determinanten e a+ib ist genau dann 1, wenn
e a = e ib = 1 ist, das heißt, wenn U aus der Gruppe SU(n) der speziellen unitären
Transformationen ist, deren Determinante den Wert 1 hat, und wenn det e H = 1 ist.
Letzteres schränkt die Summe der Eigenwerte von H ein, det e H = e α 1
e α 2
. . . = e α 1+α 2 +...
ergibt nur 1, falls die Summe der Eigenwerte von H verschwindet, α 1 + α 2 + . . . = 0,
das heißt, daß die Spur von H verschwindet, Sp H = 0. Die Gruppe SL(N, C) ist also
die Mannigfaltigkeit SU(N) × R (N2 −1) .
Insbesondere ist, wie wir gleich sehen werden, SU(2) die Mannigfaltigkeit S 3 , und
SL(2, C) ist die Mannigfaltigkeit S 3 × R 3 .
Die Drehgruppe SU(2)/Z 2
Den Gruppenelementen von SU(2) entsprechen umkehrbar eindeutig die Punkte der
dreidimensionale Kugeloberfläche S 3 . Denn die Spalten jeder unitären 2×2-Matrix U
sind wegen U † U = 1 die Komponenten von Vektoren einer Orthonormalbasis. Hat also
U die Form
( )
a b
U = , (24.78)
c d
so gilt |a| 2 + |c| 2 = 1. Die zweite Spalte steht genau dann senkrecht auf der ersten,
a ∗ b + c ∗ d = 0, wenn (b, d) ein Vielfaches von (−c ∗ , a ∗ ) ist, und dieses Vielfache wird