Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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durch die Selbstdarstellung und auf einen anderen Vektorraum W durch Multiplikation
mit der konjugiert komplexen Darstellung, dann besteht das Tensorprodukt von V ⊗ W
aus Vektoren N, deren Komponenten man als 2 × 2 Matrix angeben kann, auf die ein
M ∈ SL(2, C) durch Multiplikation von links gemeinsam mit Multiplikation mit M ∗T =
M † von rechts wirkt (24.59),
N ′ = MNM † . (24.69)
Unter dieser Darstellung von SL(2, C) ist der reelle, vierdimensionale Unterraum der
hermiteschen 2×2 Matrizen invariant: wenn N † = N ist, dann ist auch N ′† = N ′ . Mit den
folgenden vier hermiteschen Basismatrizen, der 1-Matrix und den drei Pauli-Matrizen
σ 1 , σ 2 und σ 3 ,
( ( ) ( ) ( 1 1
−i 1
σ 0 = , σ
1)
1 = , σ 2 = , σ 3 = , (24.70)
1
i
−1)
läßt sich jede hermitesche 2 × 2 Matrix als reelle Linearkombination ˆk = k 0 σ 0 + k 1 σ 1 +
k 2 σ 2 + k 3 σ 3 schreiben,
( ) ( )
ˆk = k m σ m = η mn k n σ m k0 + k
= 3 k 1 − ik 2 k
=
0 − k 3 −k 1 + ik 2
k 1 + ik 2 k 0 − k 3 −k 1 − ik 2 k 0 + k 3 .
Sie geht durch jede Transformation
(24.71)
ˆk ↦→ MˆkM † = ˆk ′ (24.72)
in eine hermitesche 2 × 2 Matrix ˆk ′ über, wobei k ′ = Λ k linear mit k zusammenhängt.
Diese zu M gehörige Transformation Λ hat reelle Matrixelemente, denn für alle reellen
Vierervektoren k ist k ′ reell. Genauer handelt es sich bei Λ ∈ O(1, 3) um eine Lorentztransformation,
denn die Determinante von ˆk
det ˆk = (k 0 ) 2 − (k 1 ) 2 − (k 2 ) 2 − (k 3 ) 2 (24.73)
stimmt, da die Determinante von M ∈ SL(2, C) Eins ist, nach dem Determinantenproduktsatz
mit det ˆk ′ = det(M ˆkM † ) = det M det ˆkdet M † = det ˆk überein,
(k 0 ) 2 − (k 1 ) 2 − (k 2 ) 2 − (k 3 ) 2 = (k ′0 ) 2 − (k ′1 ) 2 − (k ′2 ) 2 − (k ′3 ) 2 . (24.74)
Um den Zusammenhang von SL(2, C) mit der Lorentzgruppe SO(1, 3) genauer anzugeben,
müssen wir zunächst den folgenden algebraischen Sachverhalt klären.
Polardarstellung invertierbarer Matrizen
So wie sich jede nichtverschwindende komplexe Zahl z = e i α r eindeutig als Produkt einer
Drehung e iα und einer Streckung r = e h > 0 schreiben läßt, so läßt sich jede invertierbare
Matrix M als Produkt einer unitären Matrix U mit einer Matrix e H schreiben, wobei
H = H † hermitesch ist, und U und H eindeutig durch M bestimmt sind,
M = Ue H , U † = U −1 , H † = H . (24.75)