Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Ebenso enthält er die Diagonalmatrix mit Diagonalelementen (a, −a−b, b) . Von diesen
drei Matrizen sind aber, wenn S nicht verschwindet, zwei linear unabhängig, sie spannen
den gesamten Raum der diagonalen, spurfreien Matrizen auf, der seinerseits durch Drehungen
in den Raum W 5 transformiert wird. Also enthält W 5 keinen echten, invarianten
Unterraum.
Die antisymmetrischen Tensorprodukte, A ij ⃗e i ⊗ ⃗e j , A ij = −A ji =: ǫ ijk A k , i, j, k ∈
{1, 2, 3}, heißen Axialvektoren. Sie transformieren unter Drehungen mit det D = 1 wie
Vektoren, bleiben aber, anders als die Vektoren aus V 3 , die man zur Betonung des Unterschieds
auch polare Vektoren nennt, unter Spiegelungen invariant (2.46),
(D ⊗ D)(⃗e i ⊗⃗e j ǫ ijk A k ) = (D⃗e i ⊗ D⃗e j ) ǫ ijk A k = (⃗e l ⊗⃗e m ) D l i D m j ǫ ijk A k
ǫ ijk D l i D m j A k = ǫ ijk D l i D m j D n k D n r A r = det D ǫ lmn D n r A r = ǫ lmn A ′ n
A ′ i = (detD) D i j A j . (24.67)
Axialvektoren ⃗A sind Elemente eines dreidimensionalen Darstellungsraumes der Drehgruppe
O(3), auf dem jedes D ∈ O(3) durch (detD) D dargestellt ist.
Beispielsweise ist das Magnetfeld ein Axialvektor: durchläuft ein geladenes Teilchen
unter der Wirkung der Lorentzkraft ⃗F = q (⃗E + ⃗v × ⃗B) die Bahn ⃗x(t) durch ⃗x(0)
mit Anfangsgeschwindigkeit ⃗v(0), so wird die gespiegelte Bahn −⃗x(t) durch −⃗x(0) mit
gespiegelter Anfangsgeschwindigkeit −⃗v(0) in den Feldern ⃗E ′ (t,⃗x) = −⃗E(t, −⃗x) und
⃗B ′ (t,⃗x) = ⃗B(t, −⃗x) durchlaufen.
Da das Kreuzprodukt ⃗u × ⃗v zweier Vektoren aus V = V 3 wie ein Axialvektor unter
Spiegelungen invariant ist, (−⃗u) × (−⃗v) = ⃗u × ⃗v ist es streng genommen nicht in V,
sondern ein Axialvektor in A = W 3 . So gesehen ist das Kreuzprodukt eine Abbildung
von V × V → A, beim wiederholten Kreuzprodukt handelt es sich um Abbildungen
V × A → V und A × A → A.
Die Orthonormalbasis von A liegt bei gewählter Orthonormalbasis von V bis auf einen
Faktor fest. Drehungen um die x-Achse von V lassen eine Drehachse in A invariant, von
der man einen nichtverschwindenden Vektor als Einheitsvektor ⃗e x wählen kann. Er geht
durch dieselben Drehungen wie in V in die Einheitsvektoren ⃗e y und ⃗e z über. Die so durch
Drehungen in A ausgezeichnete Basis ist nach der Wahl des Einheitsvektors ⃗e x , also bis
auf einen Faktor λ ≠ 0, eindeutig. Daß die Basen von V und A nur bis auf einen Faktor
relativ zueinander festliegen, zeigt sich auch daran, daß die Vektoren und Axialvektoren,
etwa Geschwindigkeiten ⃗v und Magnetfeldstärke ⃗B, unterschiedliche Maßeinheiten haben
und nicht addiert werden können. Sie können zwar der Richtung nach, nicht aber der
Größe nach verglichen werden.
Lorentztransformationen als Tensordarstellung von SL(2, C)
Wirkt die Gruppe SL(2, C) der linearen Transformationen M des Raumes V = C 2 , deren
Determinanten den speziellen Wert 1 haben,
( ) a b
M = , a, b, c, d ∈ C , ad − bc = 1 , (24.68)
c d