Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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das neundimensionale Tensorprodukt V 3 ⊗ V 3 eines reellen, euklidischen, dreidimensionalen
Vektorraumes V 3 , auf den Drehspiegelungen D, D T = D −1 , wirken.
Im Tensorprodukt V 3 ⊗ V 3 sind der sechsdimensionale Unterraum, der von symmetrischen
Produkten u ⊗ v + v ⊗ u aufgespannt wird, und der dreidimensionale Unterraum,
der von antisymmetrischen Produkten u ⊗v−v⊗u aufgespannt wird, invariante Unterräume,
denn symmetrisierte und antisymmetrisierte Produkte werden auf symmetrisierte
und antisymmetrisierte Produkte abgebildet,
(D ⊗ D)(u ⊗ v ± v ⊗ u) = (Du) ⊗ (Dv) ± (Dv) ⊗ (Du) . (24.61)
Für die Komponentenmatrix von N = ⃗e i ⊗ ⃗e j N ij , die in N ′ = D N D T transformiert,
bedeutet dies, daß ihre symmetrischen und antisymmetrischen Anteile getrennt transformieren,
(N ′ + N ′T ) = D (N + N T ) D T , (N ′ − N ′T ) = D (N − N T ) D T . (24.62)
Der sechsdimensionale Unterraum der symmetrischen Tensorprodukte Ŝ = ⃗e i ⊗ ⃗e j Ŝ ij ,
Ŝ ij = Ŝji , zerfällt in Vielfache der 1 und den Raum der spurfreien Tensorprodukte
Ŝ ij = S δ ij + S ij , S ij δ ij = 0, die wegen D i k D j l δ kl = δ ij (3.63) unter Drehungen
getrennt transformieren,
Ŝ ′ij = D i k D j l (S δ kl + S kl ) = S δ ij + D i k D j l S kl . (24.63)
Dabei ist D i k D j l S kl spurfrei, wenn S kl spurfrei ist, denn es ist δ ij D i k D j l = δ kl . Die
Tensortransformation des neundimensionalen Tensorproduktes läßt also den eindimensionalen
Unterraum W 1 der Elemente S⃗e i ⊗ ⃗e i , den fünfdimensionalen Unterraum W 5
der Elemente mit spurfreien, symmetrischen Komponenten S ij ⃗e i ⊗ ⃗e j und den dreidimensionalen
Unterraum W 3 , der von antisymmetrischen Produkten aufgespannt wird,
invariant,
V 3 ⊗ V 3 = W 1 ⊕ W 5 ⊕ W 3 . (24.64)
Die Elemente von W 1 sind punktweise invariant.
Der Raum W 5 der symmetrischen, spurfreien Tensoren enthält keinen echten, invarianten
Unterraum: jedes S ∈ W 5 definiert eine symmetrische Bilinearform, die durch eine
Drehung diagonalisiert werden kann (Seite 110), und ist daher von der Form
⎛ ⎞
a
S = D ⎝ b ⎠ D T . (24.65)
−a − b
Mit S enthält der Darstellungsraum nicht nur die Diagonalmatrix mit Diagonalelementen
(a, b, −a − b) , sondern auch die Matrix mit vertauschten Diagonalelementen, die sich
hieraus durch Drehung um die z-Achse um π/2 ergibt,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞
0 −1 a
0 1 b
⎝1 0 ⎠ ⎝ b ⎠⎝−1 0 ⎠ = ⎝ a ⎠ . (24.66)
1 −a − b 1 −a − b