Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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durch (L × K)(u, v) = (Lu, Kv) auf sich abbildet. Ebenso definieren sie auf natürliche
Art die lineare Selbstabbildung L ⊗ K des Tensorproduktes U ⊗ V durch
(L ⊗ K) u ⊗ v = (Lu) ⊗ (Kv) . (24.55)
Hierdurch ist die Abbildung L ⊗ K schon vollständig festgelegt, denn sie ist linear. Aufeinen
beliebigen Vektor N = e i ⊗ ê j N ij ∈ U ⊗ V wirkt sie gemäß
(L ⊗ K)(e i ⊗ ê j N ij ) = ( (L ⊗ K)(e i ⊗ ê j ) ) N ij = ( (Le i ) ⊗ (Kê j ) ) N ij
= ( (e k L k i) ⊗ (ê l K l j) ) N ij = e k ⊗ ê l L k i N ij K l j = e k ⊗ ê l N ′kl ,
(24.56)
wobei N ′kl = L k i N ij K l j die Komponenten des transformierten Vektors (L ⊗ K)N sind.
Schreiben wir die Komponenten N ij als Rechteckmatrix N, wobei i die Zeile und j die
Spalte abzählt, so wirkt (L ⊗K) auf diese Komponentenmatrix durch Multiplikation von
links mit der Matrix L und von rechts mit K T ,
N ′ = LNK T . (24.57)
Sind insbesondere L und K Darstellungsmatrizen D und ˆD einer Gruppe, die auf U
und V dargestellt ist, so ist D ⊗ ˆD eine Darstellung. Denn es gilt, je nachdem welche
Schreibweise man bevorzugt,
(D g ⊗ ˆD g ) (D h ⊗ ˆD h ) = (D g D h ) ⊗ ( ˆD g ˆDh ) = D gh ⊗ ˆD gh ,
N ′′ = D g N ′ ˆDT g = D g D h N ˆD T h ˆD T g = D gh N ˆD T gh .
(24.58)
Die bequeme Schreibweise, Elemente des Tensorproduktes durch Rechteckmatrizen
darzustellen, auf die Tensorprodukte von linearen Abbildungen von links und transponiert
von rechts wirken, versagt bei mehr als zwei Faktoren. Dann muß auf die Indexschreibweise
zurückgegriffen werden. In ihr transformieren die Komponenten N ij mit
einer Darstellungsmatrix D für den ersten Index i, der die Komponenten eines Vektors
in U benennt, und einer Darstellungsmatrix ˆD für den zweiten Index j, der die Komponenten
eines Vektors in V abzählt,
N ′ kl = D k i ˆD l j N ij , N ′ = DN ˆD T . (24.59)
Ist hierbei V seinerseits ein Tensorprodukt und ˆD das Tensorprodukt von Darstellungen
und kontragredienten Darstellungen, so haben die Komponenten mehrere Indizes und
transformieren beispielsweise beim Produkt von s Faktoren V und r Faktoren V ∗ mit
N ′ j 1...j si1
...i r
= D j 1
k1 . . .D j s
ks D T−1 i 1
l 1
. . .D T−1 i r
l r
N k 1...k sl1
...l r
= D j 1
k1 . . .D j s
ks D −1l 1
i1 . . .D −1l r
ir N k 1...k sl1
...l r
.
(24.60)
Unter Drehungen invariante Unterräume von V 3 ⊗ V 3
Die Transformation des Tensorproduktes zweier Vektorräume zerfällt normalerweise in
die Transformation niedriger dimensionaler Unterräume. Betrachten wir beispielsweise