Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Vektor x der Dualvektor ˜Sx, der sich durch die kontragrediente symplektische Transformation
im Dualraum aus dem zu x gehörigen Vektor ergibt, ˜Sx = S T−1˜x. Es transformiert
x m = j mn x n , wie das Indexbild angibt, als Komponenten eines Dualvektors,
wenn sich die Komponenten x n wie die eines Vektors ändern. In Matrixschreibweise gilt
nämlich
S T−1 (jx) = (S T−1 jS −1 ) S x = j(S x) , (24.33)
wobei wir S T jS = j in der von links mit S T−1 und von rechts mit S −1 multiplizierten
Form verwendet haben.
Tensoren, Tensorprodukt
Tensor ist die Sammelbezeichnung für Abbildungen in die reellen (oder komplexen) Zahlen,
die von keinem, einem oder mehreren Vektoren linear abhängen.
Entsprechend ist ein Tensorfeld einer Mannigfaltigkeit M eine lineare Abbildung T,
die an jedem Punkt p ∈ M keinem, einem oder mehreren Vektorfeldern u, v, . . . einen
reellen Funktionswert zuordnet. Für jede reelle Funktion f von M und für jedes Vektorargument
u des Tensorfeldes gilt T(f u, v, . . .)(p) = f(p) T(u, v, . . .)(p) .
Beispielsweise ist der Grundstückspreis P(x, y) eines rechteckigen Grundstücks ein
Tensor. Er ist linear in den Kanten x und y und vollständig durch den Preis der Einheitsfläche
bestimmt, P(x, y) = xyP(1, 1) . Auch das Skalarprodukt u ·w zweier Vektoren u
und v hängt linear von u und linear von v ab. Es definiert einen Tensor, die Metrik
g(u, v) = u ·v . (24.34)
Ebenso ist in drei Dimensionen das Volumen eines Tetraeders mit Kanten ⃗u, ⃗v und ⃗w
linear in den drei Vektoren
V(⃗u,⃗v, ⃗w) = ǫ ijk u i v j w k V(⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 ) . (24.35)
Tensorfelder, die von Vektorfeldern und Dualvektorfeldern abhängen, sind beispielsweise
die Torsion T(u, v, z) und die Krümmung R(u, v, w, z), die bei Parallelverschiebung in
gekrümmten Räumen auftreten und die an jedem Punkt p angeben, um wieviel ein
kleines Parallelogramm sich zu schließen fehlt und um wieviel verdreht ein Vektor nach
Parallelverschiebung um ein kleines Parallelogramm endet [7, Anhang C].
Als einen Tensor über den Vektorräumen U und V bezeichnen wir jede Abbildung
T :
{
U × V → R
u v ↦→ T(u, v)
. (24.36)
die in beiden Argumenten linear ist. Es gilt also für jeden Tensor T und für alle Zahlen
a, b und für alle Vektoren u, u 1 , u 2 ∈ U und für alle Vektoren v, v 1 , v 2 ∈ V
T(a u 1 + b u 2 , v) = a T(u 1 , v) + b T(u 2 , v) ,
T(u, a v 1 + b v 2 ) = a T(u, v 1 ) + b T(u, v 2 ) .
(24.37)