Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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G in die lineare Gruppe GL(n) abbildet, oder von der Darstellungsmatrix D g eines
Gruppenelementes, die einen Vektorraum V auf sich abbildet.
Wenn D g Darstellungsmatrizen sind, dann sind nicht nur ˜D g = D T−1
g , sondern
auch die komplex konjugierten Matrizen D ∗ g , Darstellungsmatrizen derselben Dimension,
denn die Darstellungseigenschaft D ∗ g D ∗ h = (D g D h ) ∗ = D ∗ gh ist erfüllt.
Die Komponenten von Vektoren ⃗w eines Vektorraumes ¯V, in dem die Gruppe G durch
D ∗ dargestellt ist, bezeichnen wir mit gequerten Indizes, ⃗w = ⃗nī wī, entsprechend die
Komponenten von dazu dualen Vektoren mit x¯j = x(⃗n¯j). In dieser Notation haben die
Matrizen und die transformierten Vektoren die Komponenten
¯Dī¯j = (D i j) ∗ , w ′ ī = ¯Dī¯j w¯j , x ′ ī = ¯D T −1 ī¯j
x¯j . (24.7)
Insbesondere bei mit griechischen Buchstaben bezeichneten Indizes findet sich auch die
Notation, den Index mit einem Punkt zu versehen, ¯χ ˙α , um am Indexbild klarzumachen,
daß es sich um die Komponenten eines Vektors handelt, auf den die konjugiert komplexe
Darstellung wirkt. Diese Notation verbietet sich aber bei den lateinischen Buchstaben
wie i und j.
Transformiert ein Vektor unter der Darstellung D, so bezeichnen wir seine Komponenten
mit einem oberen Index, transformiert er unter D T−1 , so schreiben wir den Index
unten. Zum komplex konjugierten Transformationsgesetz gehört ein gequerter oder gepunkteter
Index.
Der erste Index der Matrixelemente D i j der Transformationsmatrix bezeichnet die
Zeile, der zweite die Spalte. Dabei schreiben wir den ersten Index von D nach oben.
Er steht dann in derselben Höhe wie der Index der Komponente des transformierten
Vektors. Die Matrix D −1 ist wie D und die 1-Matrix ein Element der Matrixgruppe
D(G). Ihre Matrixelemente werden mit demselben Indexbild geschrieben
D i j (D −1 ) j k = δ i k . (24.8)
Die Matrixelemente der transponierten Matrix erhält man durch Vertauschen von
Zeilen- und Spaltenindex. Es bezeichnet der erste Index die Zeile, also entsteht das
Indexbild
(D T−1 ) i j = (D −1 ) j i , (24.9)
das zur Konvention paßt, daß im Transformationsgesetz von Komponenten jeweils der
erste Index von D oder D T−1 die transformierte Komponente bezeichnet und der zweite
Index zu einem Indexpaar gehört, von denen einer oben und einer unten steht und über
das summiert wird.
Die Summe u i v i von Produkten der Vektorkomponenten mit den Komponenten eines
Dualvektors ist invariant
u ′ i v′ i = D T −1 i j u j D i k v k = u j D −1j i D i k v k = u j δ j k v k = u j v j . (24.10)
Für diesen Sachverhalt, der unserer Definition des kontragredienten Transformationsgesetzes
(24.3) zugrunde lag, gibt es umgangssprachliche, anschauliche Formulierungen:
ein unterer Index frißt, was die Transformation betrifft, in der Summe einen oberen