Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

24 Darstellungen
Wirkt auf einem Vektorraum V eine Darstellung D einer Gruppe G, so definiert sie die
kontragrediente Darstellung ˜D im Dualraum V ∗ durch die Invarianzforderung, daß für
jedes g ∈ G jeder transformierte Dualvektor ˜D g u, angewendet auf jeden transformierten
Vektor D g ⃗v dasselbe ergibt, wie vor der Transformation
( ˜Dg u ) (D g ⃗v) = u(⃗v) . (24.1)
Die lineare Abbildung ˜D g ist hierdurch eindeutig festgelegt, denn
u(⃗v) = ( ˜Dg u ) (D g ⃗v) 3.52
= ( D T g ˜D g u ) (⃗v) (24.2)
gilt für alle ⃗v nur, wenn D T g ˜D g u = u ist, was wiederum genau dann für alle u gilt, falls
˜D g = D T−1
g . (24.3)
Die linearen Abbildungen ˜D g stellen g dar,
( ˜Dg ˜Dh u ) (D gh ⃗v) = ( ˜Dg ˜Dh u ) (D g D h ⃗v) = ( ˜Dh u ) (D h ⃗v) = u(⃗v) (24.4)
und da ˜D gh eindeutig ist, stimmt es mit ˜D g h = ˜D g ˜Dh überein. Man kann natürlich die
Darstellungseigenschaft auch einfach nachrechnen,
˜D gh = ((D gh ) T ) −1 = ((D g D h ) T ) −1 = (D T h DT g )−1 = (D T g )−1 (D T h )−1 = ˜D g ˜Dh . (24.5)
Transformiert ein Vektorraum V unter einer Darstellung D, so definieren wir, daß der
Dualraum unter der kontragredienten Transformation ˜D = D T−1 transformiert.
Dann unterscheidet die Stellung der Indizes nicht nur zwischen Vektorkomponenten
mit oberen Indizes und Dualvektorkomponenten mit unteren Indizes, sondern unterscheidet
auch das Transformationsgesetz. Transformierte Vektoren ⃗v ′ = D g ⃗v und transformierte
Dualvektoren u ′ = ˜D g u haben Komponenten
v ′ i = D i j v j , u ′ i = DT−1 i j u j . (24.6)
Im Formelbild treten die Indizes entweder nur als Summationsindexpaar eines oberen
und eines unteren Indexes auf oder als einzelner Index, der in jedem Term in derselben
Indexstellung erscheint.
Der Übersichtlichkeit wegen erlauben wir uns, das g bei D g wegzulassen, wenn aus
dem Zusammenhang klar ist, ob wir von der Darstellung D sprechen, die die Gruppe