Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

244 23 Kovariante Maxwellgleichungen
gehören zum Lorentztransformierten Feld A ′ m (x) = Λ m nA n (Λ −1 x) die folgendermaßen
transformierten Amplituden: Das Skalarprodukt k · Λ −1 x ist Lorentzinvariant,
k ·(Λ −1 x) = (Λk) ·(ΛΛ −1 x) = (Λk) ·x . (23.71)
Verwenden wir die transformierten Integrationsvariablen ⃗k ′ , die räumlichen Komponenten
von k ′ = Λk, so ist das Maß d 3 k/k 0 = d 3 k ′ /k 0 ′ Lorentzinvariant, das Argument der
Amplituden a n (k) und a n ∗ (k) ist k = Λ −1 k ′ . Also ist
∫
A ′m (x) = Λ m 1 d 3 k ′ (
n e
−i k ′ · x a n (Λ −1 k ′ ) + e i · k′ x a n ∗ (Λ −1 k ′ ) ) (2π) 3 2k ′0 | k ′0 =| ⃗k ′ |
(23.72)
Benennen wir k ′ in k um, so zeigt dies, daß zum Lorentztransformierten Feld die transformierten
Amplituden
a ′m (k) = Λ m n a n (Λ −1 k) , a ′m∗ (k) = Λ m n a n ∗ (Λ −1 k) . (23.73)
gehören. Sie transformieren wie ein Vierervektorfeld auf der Massenschale m = 0 der
Wellenvektoren k.
Bei Translationen um b werden die Amplituden mit der Funktion e i k·b multipliziert,
A ′ m (x) = A m (x − b) = 1
(2π) 3 ∫ d 3 k
2k 0 (
e
−i k·(x−b) a m (⃗k) + e i k·(x−b) a m ∗ (⃗k) ) | k 0 =| ⃗k|
a ′m (⃗k) = e i k·b a m (k) , a ′m∗ (⃗k) = e −i k·b a m ∗ (k) . (23.74)
Daß die Maxwellgleichungen des Elektrovakuums unter einer größeren Gruppe invariant
sind, zeigt die Streckung x ↦→ x ′ = λx mit transformierten Feldstärken
F ′ kl (x) = λ−2 F kl (λ −1 x) . (23.75)
Erfüllt F kl die Maxwellgleichungen η mk ∂ m F kl = j l mit einem Viererstrom j l (x), so
genügt F ′ kl ebenfalls den Maxwellgleichungen mit einem Viererstrom j′ l (x) = λ−3 j l (λ −1 x),
η mk ∂ m F ′ kl (x) = λ−3 η mk ∂ m F kl|λ −1 x
. (23.76)
Die gestreckte Ladungsverteilung ρ ′ (x) = λ −3 ρ(λ −1 x) gehört zu unveränderter Gesamtladung,
∫ ∫
∫
Q ′ = d 3 xρ ′ (x) = d 3 xλ −3 ρ(λ −1 x) z=λ−1 x
= d 3 z ρ(z) = Q , (23.77)
was mit dem nicht in den Maxwellgleichungen enthaltenen Befund verträglich ist, daß
es Elektronen und Protonen nur mit einer und keiner anderen Ladung gibt. Aber es
gibt nicht Wasserstoffatome in beliebig gestreckter Größe. Demnach bilden Streckungen
nicht physikalisch realisierte Sachverhalte auf ebenfalls reale Sachverhalte ab. Daß nicht
Streckungen und konforme Transformationen, die sich als allgemeinste Symmetrien der
Maxwellgleichungen des Elektrovakuums erweisen [7, Kapitel 5.8], sondern nur Poincaré-
Transformationen physikalische Abläufe auf physikalische Abläufe abbilden, beruht auf
Eigenschaften der Materie, die nicht mit den Maxwellgleichungen erfaßt werden. Insbesondere
können die diskreten Massen von Teilchen nicht aus den Maxwellgleichungen
folgen, denn mit jeder Lösung der Maxwellgleichung löst sie auch jede beliebig skalierte
Lösung.
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