Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Longitudinaler Dopplerfaktor und Geschwindigkeit
Nach dem Raumzeitdiagramm 1.9 ist τ ′ /t − = t + /τ ′ und τ ′ = τ, also gilt τ/t − = t + /τ.
Es ist aber τ/t − das Verhältnis von Empfangs- zu Sendezeit (1.59) von Lichtpulsen, die
von B zu U ausgesendet werden, und t + /τ ist das Verhältnis für den Rückweg. Also
stimmen beide Verhältnisse überein
k(U, B) = k(B, U) . (1.68)
Der Dopplerfaktor, mit dem B Frequenzen von U verschoben sieht, stimmt bei Bewegung
in Sichtlinie mit dem Dopplerfaktor überein, mit dem U Frequenzen von B
verschoben wahrnimmt.
Wegen t + = k(B, U) τ und τ = k(U, B) t − gilt
t + = k 2 t − (1.69)
für alle Ereignisse E, die nach dem Ursprung von der Uhr U durchlaufen werden, wenn
sie sich vom Beobachter B entfernt. Weil wegen (1.58)
k 2 = t +
= t + r
t − t − r = 1 + r/t
1 − r/t
(1.70)
ist und weil r/t definitionsgemäß die Geschwindigkeit v ist, mit der sich die Uhr U vom
Beobachter B entfernt, gilt
U B
√
1 + v
k(v) =
1 − v = √ 1 + v , v = k2 − 1
1 − v
2 k 2 + 1 . (1.71)
t B
t U
O
t E
t S
Bei einer Uhr U, die auf den Beobachter B zufliegt, sich also
mit negativer Geschwindigkeit entfernt, ist der Dopplerfaktor
der Kehrwert
k(−v) = t E
t S
= t U
t B
= 1
k(v) . (1.72)
Eine Uhr, die sich gleichförmig von einem Beobachter entfernt,
erscheint langsamer, er sieht auf ihr die Zeit t U = t B /k,
wenn ihm seine eigene, gleiche Uhr t B anzeigt. Dabei ist k(v)
Abbildung 1.10: Aufeinander
zu und vonter
gleichförmig nähert, erscheint sie ihm schneller, denn der
für v > 0 größer als Eins. Wenn sich die Uhr einem Beobacheinander
weg Dopplerfaktor während der Annäherung ist bei Bewegung in
Sichtlinie der Kehrwert des Dopplerfaktors beim Wegfliegen.
Mit (1.71) kann man die Geschwindigkeit v bestimmen, indem man, wie alltäglich in
der Verkehrsüberwachung, den Dopplerfaktor k mißt. Da er gleich bleibt, wenn man Beobachter
und beobachtete Uhr vertauscht (1.68), messen zwei in Sichtlinie gegeneinander
bewegte Beobachter dieselbe Relativgeschwindigkeit.