Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Liest man die inhomogenen Maxwellgleichungen als Definition der Stromdichten
η km ∂ m F kl (x) = j l (x) , (23.38)
dann sind sogar alle Maxwellgleichungen unter beliebigen Transformationen x(x ′ ) invariant,
denn dann definiert η km ∂ ′ m F′ kl (x′ ) die transformierte Stromdichte.
Allerdings ist Elektrovakuum, ein Gebiet, in dem die Ladungs- und Stromdichten
verschwinden, nicht invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen, sondern
η km ∂ m F kl (x) transformiert unter beliebigen Koordinatentransformationen nichtlinear,
ist also nicht kovariant unter beliebigen Koordinatentransformationen. Wir unterstellen,
daß alle Beobachter darin übereinstimmen, ob ein Gebiet ladungs- und stromfrei ist (statt
zu unterstellen, daß beschleunigte Beobachter Ladungen sehen, wo unbeschleunigte nur
Feldstärken, aber keine Ladungen sehen) und zeigen, daß Elektrovakuum durch Poincaré-
Transformationen in sich übergeht.
Poincaré-Transformationen
x ↦→ x ′ = Λx + a (23.39)
transformieren Raumzeitpunkte x = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) durch eine Lorentztransformation Λ
und eine Verschiebung um a = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) . Zu ihnen gehört die adjungierte Transformation
(3.108) von Feldern, also von Abbildungen des Minkowskiraumes in einen
Bildraum, in dem eine Darstellung der Poincaré-Gruppe wirkt.
Bei den Stromdichten j m und dem Viererpotential A m transformiert der Bildraum als
Vierervektor,
j ′ m (x) = Λ m n j n (Λ −1 (x − a)) ,
A ′ m (x) = Λ m n A n (Λ −1 (23.40)
(x − a)) .
Die Kontinuitätsgleichung und die Lorenzbedingung sind unter solchen Transformationen
invariant. Denn nach der Kettenregel gilt
also für z r = Λ −1r n(x n − a n ) mit ∂ x mz r = Λ −1r m
∂ x mf(z(x)) = ∂zr
∂x m ∂ z rf | z(x)
, (23.41)
∂ m j ′ m (x) = Λ −1r m Λ m n ∂ r j n | Λ −1 (x−a)
= ∂ m j m | Λ −1 (x−a)
, (23.42)
wobei wir Λ −1r m Λ m n = δ r n und δ r n ∂ r = ∂ n und ∂ n j n = ∂ m j m verwendet haben. Es
transformiert also die Viererdivergenz eines Vektorfeldes (23.40) wie ein Skalarfeld φ,
φ ′ (x) = φ(Λ −1 (x − a)) , (23.43)
und verschwindet genau dann, wenn das transformierte Feld verschwindet, denn die
Transformationen sind linear und Null ist ein Fixpunkt.
Genauer betrachtet ist ∂ m j m ein Skalarfeld unter allgemeinen linear inhomogenen
Transformationen der Raumzeit, denn wir wir haben nur die Invertierbarkeit von Λ
benutzt.