Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

238 23 Kovariante Maxwellgleichungen
In der Lorenzeichung sind die inhomogenen Maxwellgleichungen entkoppelte, inhomogene
Wellengleichungen für die vier Komponentenfunktionen A n des Viererpotentials
A n = j n . (23.35)
Die Funktionen A n sind allerdings noch durch die Lorenzbedingung gekoppelt.
In der Viererschreibweise treten Raum- und Zeitableitungen und elektrische und magnetische
Feldstärken in den Maxwellgleichungen in gleicher Weise auf. Einzig das Vorzeichen
von η 00 im Vergleich zu η 11 , η 22 und η 33 unterscheidet die zweiten Zeitableitungen
im Wellenoperator von den zweiten Ableitungen nach den kartesischen Ortskoordinaten.
Kovarianz der Maxwellgleichungen
Die Kontinuitätsgleichung (23.17), die Lorenzbedingung (23.29), der Zusammenhang
von Feldstärken und Viererpotential (23.22), die Eichtransformationen (23.27) und die
Wellengleichungen (23.35) sind kovariant unter Poincaré-Transformationen. Das heißt,
bringt man in diesen Gleichungen alle Terme auf die linke Seite, so sind diese linken Seiten
Funktionen der Felder und ihrer Ableitungen, also Jet-Funktionen, die unter Poincaré-
Transformationen linear transformieren. Diese Jet-Funktionen sind das, was man die
Form“ der Gleichungen nennt.
”
Die homogenen Maxwellgleichungen (23.7) sind sogar kovariant unter beliebigen Transformationen
x(x ′ )), wenn man durch
F ′ mn (x′ ) = ∂xr
∂x ′ m ∂x s
∂x ′ n F rs(x(x ′ )) (23.36)
die transformierten Feldstärken definiert. Denn die zyklische Summe auf der linken Seite
der homogenen Maxwellgleichungen ist wegen F mn = −F nm eine vorzeichenbehaftete
Summe über alle Permutationen und daher total antisymmetrisch unter jeder Vertauschung
eines Indexpaares (23.8). In
(
2Y lmn(x ′ ′ ) = ∂ ′ ∂x r ∂x s
l
∂x ′ m ∂x F rs(x(x ′ )) + . . . )
′ n
= ∂xt
∂x ′ l
∂x r
∂x ′ m ∂x s
∂x ′ n ∂ x tF rs |( x(x ′ ))
+ ∂2 x r
∂x ′ m ∂x ′ t ∂x s
∂x ′ n F rs(x(x ′ )) + ∂xr
= ∂xt
∂x ′ l
∂x r
∂x ′ m ∂x s
∂x ′ n 2Y trs(x(x ′ )) ,
∂x ′ m
∂ 2 x s
∂x ′ n ∂x ′ t F rs(x(x ′ )) + . . .
(23.37)
wobei die Punkte für die permutierten Ausdrücke stehen, heben sich daher die zweiten
Ableitungen von x nach x ′ ∂
paarweise weg, denn
2 x s
− ∂2 x s
= 0. Als Folge ist die
∂x ′n ∂x ′t ∂x ′t ∂x ′n
transformierte Funktion Y lmn ′ linear in Y trs und verschwindet genau dann, wenn Y trs verschwindet.
Die homogenen Maxwellgleichungen sind unter beliebigen Transformationen
x(x ′ ) kovariant.