Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

236 23 Kovariante Maxwellgleichungen
Viererpotential
Setzen wir die Lösung der homogenen Maxwellgleichungen (16.1,16.8)
⃗B = rot ⃗A , ⃗E = − gradφ − ∂ t
⃗A . (23.19)
in F mn (23.5) ein, verwenden wir dabei die Schreibweise A 0 = φ, ⃗A = (A 1 , A 2 , A 3 ) für
die Komponenten des Viererpotentials mit oberen Indizes und
(A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) = (A 0 , −A 1 , −A 2 , −A 3 ) , A m = η mn A n , (23.20)
so erweisen sich die Feldstärken
F 01 = E 1 = ∂ 0 A 1 − ∂ 1 A 0 , F 02 = E 2 = ∂ 0 A 2 − ∂ 2 A 0 , F 03 = E 3 = ∂ 0 A 3 − ∂ 3 A 0 ,
F 12 = −B 3 = ∂ 1 A 2 − ∂ 2 A 1 , F 23 = −B 1 = ∂ 2 A 3 − ∂ 3 A 2 , F 13 = B 2 = ∂ 1 A 3 − ∂ 3 A 1 ,
(23.21)
als die antisymmetrisierte Ableitung des Viererpotentials,
F mn = ∂ m A n − ∂ n A m . (23.22)
Diese Feldstärken lösen die homogenen Maxwellgleichungen, denn wegen F mn = −F nm
ist (23.7) total antisymmetrisch. Da aber der Wert partieller Ableitungen nicht von der
Reihenfolge abhängt, verschwindet die Antisymmetrisierung der Ableitungen
∂ l (∂ m A n − ∂ n A m ) + ∂ m (∂ n A l − ∂ l A n ) + ∂ n (∂ l A m − ∂ m A l ) =
(23.23)
= (∂ l ∂ m − ∂ m ∂ l )A n + (∂ m ∂ n − ∂ n ∂ m )A l + (∂ n ∂ l − ∂ l ∂ n )A m = 0 .
Auch ohne Rückgriff auf die Lösungen (16.1,16.8) können wir aus (23.7) schließen, daß
die Feldstärken F mn die antisymmetrisierten Ableitungen eines Viererpotentials sind,
falls das Gebiet der Raumzeit, in dem die Felder definiert sind und (23.7) erfüllen,
sternförmig ist, also mit jedem Punkt x den Verbindungsstrahl vom Ursprung zu x
enthält.
Um das einzusehen, wiederholen wir den Beweis des Poincaréschen Lemmas (15.40).
Wir schreiben F mn (x) als ein Integral über eine Ableitung, führen sie mit der Kettenregel
aus, verwenden (23.7), die Antisymmetrie von F mn und identifizieren das Ergebnis als
antisymmetrisierte, mit der Kettenregel ausgewertete Ableitung,
∫ 1
F mn (x) = dλ d λ
0 dλ( 2 F mn (λx) ) ∫ 1
= dλ ( )
2 λ F mn|λx + λ 2 x l ∂ l F mn|λx
0
∫ 1
0
= dλ ( 2 λ F mn|λx − λ 2 x l( ))
∂ m F nl|λx + ∂ n F lm |λx
∫ 1
= dλ ( 2 λ F mn|λx + λ 2 x l( ))
∂ m F ln |λx − ∂ n F lm |λx
0
(23.24)
∫ 1 ∫ 1
= ∂ m dλ λ x l F ln (λx) − ∂ n dλ λ x l F lm (λx) .
0
0
Es ist also F mn = ∂ m A n − ∂ n A m , wobei hier das Vektorpotential durch ein Integral
längs des Strahls vom Ursprung zum Punkt x gegeben ist (15.48),
A n (x) =
∫ 1
dλ λ x l F ln (λx) . (23.25)
0