Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Das Minuszeichen bei den Komponenten F 01 , F 02 und F 03 gehört zur Definition der Komponenten
des Feldstärketensors mit oberen Indizes
F mn = η mk η nl F kl , F 0i = −F 0i , F ij = F ij , (23.12)
⎧
⎨ 1 m = n = 0
η mn = −1 m = n ∈ {1, 2, 3} , (23.13)
⎩
0 m ≠ n
⎛
⎞ ⎛
⎞
F 00 F 01 F 02 F 03 0 −E 1 −E 2 −E 3
⎜F 10 F 11 F 12 F 13
⎟
⎝F 20 F 21 F 22 F 23 ⎠ = ⎜E 1 0 −B 3 B 2
⎟
⎝E 2 B 3 0 −B 1 ⎠ . (23.14)
F 30 F 31 F 32 F 33 E 3 −B 2 B 1 0
Dann haben die inhomogenen Maxwellgleichungen die Form
∂ 0 F 00 + ∂ 1 F 10 + ∂ 2 F 20 + ∂ 3 F 30 = ρ ,
∂ 0 F 01 + ∂ 1 F 11 + ∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 = j 1 ,
∂ 0 F 02 + ∂ 1 F 12 + ∂ 2 F 22 + ∂ 3 F 32 = j 2 ,
∂ 0 F 03 + ∂ 1 F 13 + ∂ 2 F 23 + ∂ 3 F 33 = j 3 .
(23.15)
und lauten mit j = (ρ, j 1 , j 2 , j 3 ) in Indexschreibweise
∂ m F mn = j n . (23.16)
Lokale Ladungserhaltung
Weil F mn = −F nm antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes ist und weil die zweifache
partielle Ableitung, wenn sie in einem Gebiet stetig ist, nicht von der Reihenfolge
der Ableitungen abhängt, ∂ n ∂ m = ∂ m ∂ n , verschwindet die Doppelsumme ∂ n ∂ m F mn .
Denn eine Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches Indexpaar
verschwindet (Seite 166).
Wenden wir ∂ n auf (23.16) an, so erhalten wir ∂ n ∂ m F mn = ∂ n j n . Die linke Seite
verschwindet. Sie ist der Viererdivergenz ∂ n j n = ∂ 0 j 0 +∂ 1 j 1 +∂ 2 j 2 +∂ 3 j 3 des Viererstroms
gleich
∂ n j n = 0 . (23.17)
In Ladungs- und Stromdichte ausgedrückt ist dies die Kontinuitätsgleichung
˙ρ + div⃗j = 0 . (23.18)
Die Kontinuitätsgleichung schränkt denkbare Quellen ρ und⃗j für elektromagnetische
Felder ein. Es können in den Maxwellgleichungen nur solche Ladungs- und Stromdichten
auftreten, die der Kontinuitätsgleichung und damit lokaler Ladungserhaltung genügen.