Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

232 22 Fernfeld einer Ladungsverteilung
Damit können wir die Ableitungen von y und y ·u durch die Viererbeschleunigung
˙u = du
ds = dt
ds
d
dt
( 1
√ (1,⃗v)) = 1 ( ⃗v ⃗a ⃗v ⃗a ) d 2 ⃗x
1 − v
2 1 − v 2 1 − v2, ⃗a +⃗v , ⃗a =
1 − v 2 dt , (22.39)
2
und die bisher eingeführten Größen ausdrücken,
∂ m y n = δ m n − u n k m ,
∂ m (y ·u) = (∂ m y n ) u n + y · ˙u k m = u m + (y · ˙u − 1) k m .
(22.40)
Wir erhalten so die Feldstärken (m ↔ n bezeichnet den vorstehenden Ausdruck, in dem
m mit n vertauscht worden ist)
F mn = ( ) q ∂ m (y ·u) u n
∂ m A n − ∂ n A m = − + q
4π (y ·u) 2 4π
= k m w n − k n w m ,
∂ m u n
(y ·u) − m ↔ n
(22.41)
wobei zu
w m = q u m
4π (y ·u) + q
2 4π
˙u m − (u m − k m ) k · ˙u
(y ·u)
. (22.42)
ein beliebiges Vielfaches von k m hinzugefügt werden darf, ohne die Feldstärken F mn zu
ändern. Wir wählen dieses Vielfache so, daß der in ˙u lineare Anteil senkrecht auf u steht.
Zudem ist er senkrecht auf k. Folglich trägt nur der Anteil der Viererbeschleunigung zu
den Feldstärken bei, der senkrecht auf der von u und k aufgespannten Ebene ist.
Insbesondere besagt dies für das elektrische Feld, E i = F 0i = k 0 w i − k i w 0 ,
⃗E = q 1 − v 2 ( ) q ⃗n × ( (⃗n −⃗v) × ⃗a )
⃗n −⃗v + . (22.43)
4π r 2 (1 −⃗v⃗n) 3 4π r(1 −⃗v⃗n) 3
Sein beschleunigungsunabhängiger Teil fällt mit 1/r 2 ab und zeigt nicht in Richtung ⃗n
von der Ursache, dem retardierten Ereignis z, zur Auswirkung bei x, sondern in Richtung
von ⃗x−(⃗z+r⃗v), vom Bestimmungsort⃗z+r⃗v nach ⃗x . Der Bestimmungsort ist der Ort, den
das Teilchen mit gleichförmiger Geschwindigkeit ⃗v in dem Augenblick erreichen würde,
in dem es sich bei ⃗x auswirkt.
Der beschleunigungsabhängige Teil des elektrischen Feldes fällt wie 1/r ab. Er steht
senkrecht auf der Richtung ⃗n von der Ursache zum Ort ⃗x und ist linear in der Beschleunigung
⃗a. Von der Beschleunigung trägt bei ⃗x nur der Anteil zum Feld bei, der senkrecht
auf der Richtung ⃗n −⃗v vom Bestimmungsort zu ⃗x ist.
Das Magnetfeld des Teilchens steht senkrecht auf ⃗n und ⃗E. Denn es ist k 0 = |⃗k| und
B k = −ε ijk k i w j = ε ijk k i w j = ε ijk k i /k 0 E j , ⃗B = ⃗n × ⃗E . (22.44)
Die Energiestromdichte ⃗S = ⃗E × ⃗B des Strahlungsfeldes zeigt in Richtung ⃗n von der
Ursache weg: eine beschleunigte Ladung strahlt Energie ab. Das heißt nicht, daß viele
beschleunigte Ladungen in jedem Fall strahlen: Ladungen, die, gleichmäßig auf einen
Kreis verteilt, ihn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchlaufen, gehören zu einer
konstanten Ladungs- und Stromdichte und erzeugen statische Felder.