Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Setzen wir die Stromdichte (22.26) in die kovariante Schreibweise des retardierten
Potentials (22.24) ein, so heben sich die vier δ-Funktionen mit der d 4 y-Integration weg,
es verbleibt
A m (x) = 1 ∫dsδ((z(s) − x) 2 ) θ(x 0 − z 0 (s)) dzm (22.29)
2π
ds
Auch hier brauchen wir die Kettenregel (18.36) für die δ-Funktion. Mit
∣ d ds (z(s) − x)2∣ ∣
dz = 2 ·(x − z(s)) (22.30)
ds
und der Kurzschrift u m = dz m /ds (22.23) erhalten wir das von Alfred Marie Liénard
(1869-1958) und Emil Wiechert (1861-1928) im Jahr 1898 beziehungsweise 1900 hergeleitete
Viererpotential
Der hier auftretende Vierervektor
A m (x) = q
4π
u m
u ·(x − z(s(x))) . (22.31)
y = x − z(s(x)) (22.32)
zeigt von der Ursache zur Auswirkung: vom Ereignis z(s), in dem die Weltlinie des
Teilchens den Rückwärtslichtkegel von x durchläuft, zum Ereignis x, dessen Potential
das Teilchen bewirkt. Der Vierervektor y ist lichtartig und zukunftsgerichtet,
y(x) = x − z(s(x)) , y 2 = 0 , y 0 > 0 , (22.33)
und hängt auch über s(x) von x ab. In räumliche und zeitliche Komponenten aufgespaltet,
gilt
y = ( r,⃗x −⃗z(s(x)) ) = r (1,⃗n) , (22.34)
wobei r den Abstand und ⃗n den Richtungsvektor vom Teilchen zum Beobachter bei ⃗x
bezeichnet. Die Vierergeschwindigkeit des Teilchens ist
Folglich ist das Skalarprodukt
u =
y ·u =
1
√ (1,⃗v) . (22.35)
1 − v
2
r
√ (1 − ⃗n ·⃗v) . (22.36)
1 − v
2
Die Ableitungen von s(x) bestimmen wir durch Ableiten von y 2 = 0,
0 = (δ m n − u n ∂ m s) y n , ∂ m s = y m
y ·u =: k m . (22.37)
Der Vierervektor k in Richtung von y ist lichtartig, durch sein Skalarprodukt mit u
normiert und hat die Zerlegung
√
1 − v
2
k =
1 − ⃗n ·⃗v (1, ⃗n) , k2 = 0 , k ·u = 1 . (22.38)