Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

14 1 Vektorräume
Wir verlängern die Weltlinien des Lichtpulses, der von der Uhr U empfangen und
reflektiert wird, wenn sie die Zeit τ anzeigt, bis zur Weltlinie des Beobachters B und
bezeichnen in Abbildung 1.9 mit t − und t + die
Zeiten, die die Uhr von B anzeigt, wenn er den
Lichtpuls zu U aussendet und wieder empfängt.
B S U Wegen (1.59) zeigt die Uhr von B die Zeit
t +
τ ′ = k(B, S) k(S, B) t − (1.62)
τ ′
τ = √ t + t −
an, wenn der Lichtpuls wieder einläuft, der zur
Zeit t − ausgesendet wurde und der von S reflektiert
wurde. Denn τ ′ ist ein Vielfaches der Zeit,
zu der der Lichtpuls von S reflektiert wird, und
diese Zeit ist ein Vielfaches der Zeit t − , zu der der
Lichtpuls von B ausgesendet wurde. Ebenso folgt
t −
O
Abbildung 1.9: Satz des Minkowski
t + = k(B, S) k(S, B) τ ′ . (1.63)
Also ist τ ′ das geometrische Mittel von t − und t +
τ ′
t −
= t +
τ ′ , τ ′2 = t + t − , (1.64)
und wegen τ ′ = τ (1.61) gilt der
Satz des Minkowski: Durchlaufen zwei gleichförmig bewegte Beobachter B und U ein
Ereignis O und stellen sie dabei ihre gleichen Uhren auf Null, so ist die Zeit τ, die auf der
Uhr von U bis zum Durchlaufen eines späteren Ereignisses E vergeht, das geometrische
Mittel derjenigen Zeit t − , die die Uhr des Beobachters B anzeigt, wenn er einen Lichtpuls
zu E aussendet, und der Zeit t + , die sie anzeigt, wenn er den Lichtpuls von E empfängt,
τ 2 = t + t − = (t + r) (t − r) = t 2 − r 2 . (1.65)
Durchläuft eine gleichförmig bewegte Uhr die Ereignisse (0, 0, 0, 0) und (t, x, y, z) =
(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) , so definiert die Zeit τ, die dazwischen auf der Uhr vergeht, die raumzeitliche
Entfernung beider Ereignisse,
τ 2 = t 2 − r 2 = t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = η mn x m x n , m, n ∈ {0, 1, 2, 3} , (1.66)
⎧
⎨ 1 m = n = 0
η mn = −1 m = n ∈ {1, 2, 3}
⎩
0 m ≠ n
. (1.67)
Das Längenquadrat in der Raumzeit ist nicht positiv definit, sondern hat p = 1 Pluszeichen
und q = 3 Minuszeichen. Die Differenz p − q heißt Signatur der Metrik. Sie ist
basisunabhängig und hat in der Raumzeit den Wert −2.