Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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denn das Integral über die räumlichen Ableitungen ∂ k (x i j k ) gibt Randterme und verschwindet,
weil nach Annahme die Ströme für große r verschwinden.
Ebenso kann man räumliche Momente der Stromdichte, genauer symmetrisierte Momente,
als Zeitableitung des Quadrupolmomentes schreiben,
∫
d 3 x (j i x j + j j x i ) =
∫
d 3 x ( ∂ k (x i x j j k ) − x i x j ∂ k j k) =
= 1 3 ˙Q ij + 1 3 δij ∫d 3 x⃗x 2 ˙ρ .
∫
d 3 xx i x j ˙ρ
(22.15)
Das magnetische Moment ⃗M einer Stromverteilung ist das antisymmetrisierte Moment
∫
1
d 3 x (x j j k − x k j j ) = ǫ jki M i , ⃗M = 1 ∫
d 3 x⃗x ×⃗j . (22.16)
2
2
Damit erhalten wir
∫d 3 xx i j j = ǫ ijk M k + 1 6 ˙Q ij + 1 6 δij ∫
d 3 x⃗x 2 ˙ρ (22.17)
und können die ersten zwei Terme von (22.10) auswerten
⃗A fern (t,⃗x) = 1 ( ˙⃗P − ⃗n × ˙⃗M + 1 4π r
6 ¨Q⃗n + 1 ∫
6 ⃗n d 3 y⃗y 2¨ρ ) . (22.18)
Der dritte Term in (22.10) betrifft zweite Zeitableitungen von Integralen über x i x j j k .
Wir vernachlässigen sie so wie dritte Zeitableitungen von x i x j x k ρ.
Die Feldstärken bestimmen wir ebenfalls nur bis zur Ordnung 1/r. Wegen
∂
∂x k 1
r = 0 + O( 1 r 2) ,
∂
d
∂xkf(t − r) = −xk
r dt f , (22.19)
wirkt in dieser Näherung ∂/∂x i wie die Zeitableitung, multipliziert mit der Komponente
−n i der Richtung zur Quelle. Daher ist das Magnetfeld ⃗B = rot ⃗A = −⃗n × ˙⃗A,
⃗B fern (t,⃗x) = − 1 (¨⃗P
4π r ⃗n × − ⃗n × ¨⃗M + 1 ... )
Q⃗n , (22.20)
6
und das elektrische Feld ⃗E = − gradφ − ∂ t
⃗A = ⃗n ˙φ − ˙⃗A,
E i fern(t,⃗x) = − 1
4π r (δij − n i n j )(¨⃗P − ⃗n × ¨⃗M + 1 ... j
Q⃗n)
. (22.21)
6
Da (δ ij − n i n j ) Vektoren ⃗v auf ihren zu ⃗n senkrechten Teil ⃗v ⊥ projiziert, ist ⃗E = − ˙⃗A ⊥
und ⃗B = ⃗n × ⃗E. In der Fernzone bilden also ⃗n, ⃗E und ⃗B ein orthogonales Rechtssystem,
wobei ⃗E und ⃗B gleich groß sind. Die Energiestromdichte ⃗S (14.33) ist nach außen gerichtet
⃗S fern = ⃗E fern × ⃗B fern = ⃗n 1 2 ( ⃗E 2 fern + ⃗B 2 fern ) . (22.22)
Beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab, die mit Lichtgeschwindigkeit nach außen
strömt.