Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

228 22 Fernfeld einer Ladungsverteilung
Zeitableitung von Ladungs- und Strommomenten
Ist die Quelle j m , die das retardierte Viererpotential erzeugt, räumlich auf ein Gebiet
beschränkt, dessen Ausdehnung klein ist gegen den Abstand r = |⃗x|, so kann man den
Integranden von (22.3) durch eine Entwicklung nach y i /r nähern. Wir berücksichtigen
beim Fernfeld A m fern des Potentials nur Anteile, die im Grenzfall r → ∞ bei konstanter
retardierter Zeit
t − = t − r (22.7)
nicht stärker als 1/r abfallen, und nähern die unterschiedliche Retardierung der Beiträge
von verschiedenen Orten ⃗y durch eine Taylorreihe. Die Richtung von der Quelle zum Ort
⃗x, an dem wir das Potential bestimmen, ist ⃗n = ⃗x/r.
1
|⃗x − ⃗y| = 1 r + O( 1 r 2)
|⃗x − ⃗y| = r ( 1 − 2 ⃗x ⃗y2 ) 1
·⃗y + 2
= r − ⃗n ·⃗y + O( 1 (22.8)
r2 r 2 r )
j m (t − r + ⃗n ·⃗y − O( 1 r )) = jm (t − ) + ⃗n ·⃗y∂ t j m (t − ) + 1 2 (⃗n ·⃗y)2 ∂ t 2 j m (t − ) + . . . (22.9)
Dies gilt nur ungefähr, wenn sich während der Zeiten, um die sich die Lichtlaufzeiten
verschiedener Teile der Quelle unterscheiden, die Quelle j m nur wenig ändert.
In dieser Näherung ist das Fernfeld
A m fern(t,⃗x) = 1 ( ∫ ∫
d 3 y j m + n i d 3 y y i ∂ t j m + 1 4π r
2 ni n
∫d j 3 y y i y j ∂ 2 t j m) , (22.10)
wobei j m , ∂ t j m und ∂ 2 t j m die Argumente (t − ,⃗y) haben und i, j ∈ {1, 2, 3} räumliche
Komponenten abzählen. Terme mit höheren Zeitableitungen vernachlässigen wir.
Für das skalare Potential A 0 = φ erhalten wir, da j 0 = ρ die Ladungsdichte ist,
φ fern (t,⃗x) = 1
4π r( ∫ d 3 y ρ + n i d ∫d 3 y y i ρ + 1 ∫
dt 2 ni n j d2
d 3 y y i y j ρ ) , (22.11)
dt 2
also die zeitunabhängige Ladung q und zur retardierten Zeit t − r die Zeitableitung des
elektrischen Dipolmoments ⃗P und die zweiten Zeitableitungen der Quadrupolmomente
Q ij , die wir als Matrixelemente einer symmetrischen, spurfreien Matrix Q auffassen,
q =
∫
d 3 y ρ , P i =
∫
d 3 y y i ρ , Q ij =
φ fern (t,⃗x) = 1
4π r(
q + ⃗n ˙⃗P + 1 6 ⃗n · ¨Q ⃗n + 1 6
∫
d 3 y ( 3y i y j − δ ij ⃗y 2) ρ , δ ij Q ij = 0 , (22.12)
∫
d 3 y⃗y 2¨ρ ) . (22.13)
Das Integral über die Stromdichte ⃗j, das beim Vektorpotential ⃗A auftritt, kann man
mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, ˙ρ + ∂ k j k = 0, als Zeitableitung von ⃗P schreiben,
∫ ∫
d 3 xj i (⃗x) = d 3 x ( ∂ k (x i j k ) − x i (∂ k j k ) ) ∫
= d 3 xx i ˙ρ = Ṗi , (22.14)