Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Wir betrachten daher das Integral
u(t,⃗x) =
∫ t
dτ ϕ τ (t,⃗x) . (21.64)
0
Zur Anfangszeit t = 0 verschwindet es, da dann der Integrationsbereich verschwindet.
Die Zeitableitung leitet nach der oberen Integrationsgrenze ab – und ergibt den Integranden
an der Stelle τ = t – und nach dem ersten Argument von ϕ ab
∂ t u(t,⃗x) = ϕ t (t,⃗x) +
∫ t
dτ ∂ t ϕ τ (t,⃗x) =
0
∫ t
dτ ∂ t ϕ τ (t,⃗x) . (21.65)
0
Sie verschwindet zur Anfangszeit t = 0, da dann der Integrationsbereich verschwindet.
Die zweite Zeitableitung ergibt
∫ t
(∂ t ) 2 u(t,⃗x) = ∂ t ϕ τ (t,⃗x) |τ=t + dτ (∂ t ) 2 ϕ τ (t,⃗x) = g(t,⃗x)+ dτ (∂ t ) 2 ϕ τ (t,⃗x) . (21.66)
0
∫ t
0
Addieren wir hierzu −∆u = ∫ t
0 dτ (−∆ϕ τ(t,⃗x)) und berücksichtigen wir, daß ϕ τ die
Wellengleichung löst, so verbleibt
u(t,⃗x) = g(t,⃗x) . (21.67)
Es ist also zu allen Zeiten t und für alle ⃗x das Integral
∫ t
u(t,⃗x) = dτ (t − τ) M (t−τ),⃗x [g τ ] (21.68)
0
die Lösung der inhomogenen Wellengleichung u = g mit den Anfangswerten u(0,⃗x) = 0
und ∂ t u(0,⃗x) = 0.
Zur Auswertung des Integrals für t > 0 substituieren wir τ(r) = t − r und integrieren
über r
u(t,⃗x) =
∫ t
dr r M r,⃗x [g t−r ] = 1
0
4π
∫ t ∫ 1
dr r 2 cosθ
0 −1d
∫ 2π
0
dϕ 1 g(t − r,⃗x + r ⃗n) (21.69)
r
Bei den drei Integralen handelt es sich, da t > 0 ist, um die Integration in Kugelkoordinaten
über die Punkte ⃗z mit Betrag kleiner t
u(t,⃗x) = 1 ∫
d 3 g(t − |⃗z|,⃗x +⃗z)
z . (21.70)
4π
|⃗z|
|⃗z|≤t
Wechseln wir hier zur Integrationsvariablen ⃗y = ⃗x +⃗z und bezeichnen wir die Kugel um
⃗x mit Radius |r| als
K r,⃗x = {⃗y : |⃗x − ⃗y| ≤ |r|} , (21.71)
so lautet die Lösung der inhomogenen Wellengleichung u = g, die zur Zeit t = 0
zusammen mit ihrer ersten Zeitableitung verschwindet,
t ≥ 0 : u(t,⃗x) = 1 ∫
d 3 g(t − |⃗x − ⃗y|,⃗y)
y . (21.72)
4π K |t|,⃗x
|⃗x − ⃗y|