Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

224 21 Wellengleichung
Für positive Zeiten t trägt im Integrationsbereich 0 < r < ∞ nur die erste δ-Funktion
bei, für negative t nur die zweite,
{ ∫
t 1 1
f(t,⃗x) =
d cosθ∫ 2π
dϕ φ( ⃗x + t ⃗n(θ, ϕ) ) für t > 0
4π ∫−1 0
t 1 1 d cosθ∫ 2π
dϕ φ( ⃗x − t ⃗n(θ, ϕ) ) . (21.57)
für t < 0
4π −1 0
Es ist also mit der Notation von (21.35), da f(t,⃗x) für t = 0 stetig ist, für alle Zeiten t
∫
1
√ 3
d 3 k e i ⃗k⃗x 1 (
e
i |⃗k|t − e −i | ⃗k|t ) ˜φ( ⃗k) = t M t,⃗x [φ] (21.58)
2π 2 i |⃗k|
und demnach auch
1
√
2π
3
∫
d 3 k e i ⃗k⃗x 1 (
e
i |⃗k|t + e −i | ⃗k|t ) ˜ψ( ⃗k) = ∂ (
t Mt,⃗x [ψ] ) . (21.59)
2
∂t
Retardiertes Potential
Um einen Eindruck über die Lösung der inhomogenen Wellengleichung zu bekommen,
integrieren wir die Gleichung
∂ 2
∂t2u − ∆u = ĝ (21.60)
über das Zeitintervall τ < t < τ + ǫ. Dabei mögen die Anfangswerte von u zur Zeit
τ verschwinden, u(τ,⃗x) = 0, ∂ t u(τ,⃗x) = 0. Das Integral auf der linken Seite gibt
∂ t u(τ + ǫ), bis auf Terme, die wegen der Anfangsbedingung von zweiter Ordnung in ǫ
sind. Das Ergebnis der rechten Seite benennen wir
∂ t u(τ + ǫ) =
∫ τ+ǫ
τ
dt ( ∂ 2
∂t 2u − ∆u) =
∫ τ+ǫ
τ
dt ĝ(t,⃗x) = g(τ + ǫ,⃗x) . (21.61)
Wirkt die Störung ĝ nur diese kurze Zeit, so liegt anschließend für t > τ eine Funktion
ϕ τ (t,⃗x) vor, die bis auf Terme, die mit ǫ gegen Null verschwinden, die Wellengleichung
mit Anfangsbedingung
ϕ τ (t,⃗x) = 0 , ϕ τ (τ,⃗x) = 0 , ∂ t ϕ τ (t,⃗x) |t=τ = g τ (⃗x) , g τ (⃗x) = g(τ,⃗x) , (21.62)
erfüllt. Konkret geht diese Lösung durch Translation in der Zeit um τ aus der entsprechenden
Lösung (21.44) hervor. Sie ist durch den Mittelwert über die Funktion g τ ,
gemittelt über eine Kugeloberfläche mit Radius t − τ gegeben,
ϕ τ (t,⃗x) = (t − τ) M (t−τ),⃗x [g τ ] . (21.63)
Wirkt die Störung g längere Zeit, so denken wir uns die Lösung zusammengesetzt aus
Lösungen, die von den kurzzeitigen Störungen erzeugt worden sind, denn wenn Lu 1 = g 1
die Lösung einer linear inhomogenen Gleichung mit Inhomogenität g 1 ist und Lu 2 = g 2
die Lösung zu einer anderen Inhomogenität, dann ist die Summe u = u 1 + u 2 Lösung
der Gleichung mit der Summe der Inhomogenitäten L(u 1 + u 2 ) = (g 1 + g 2 ) .