Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Die Fourierdarstellung von u stimmt mit der in der Feldtheorie wichtigen Darstellung
des Wellenpakets überein,
∫
u(t,⃗x) = d 3 1 (
k e
i (⃗k⃗x−ω t) a(⃗k) + e −i ( ⃗k⃗x−ω t) a ∗ (⃗k) ) , ω = |⃗k| , (21.50)
(2π) 3 2 ω
allerdings ist der Zusammenhang von Anfangswerten φ und ψ mit der Lösung u in der
Zerlegung (21.48) klarer zu überblicken als bei den Amplituden
a(⃗k) = √ 2π 3 (
ω ˜ψ( ⃗k) − i ˜φ(⃗k) ) , a ∗ (⃗k) = √ 2π 3 (
ω ˜ψ(− ⃗k) + i ˜φ(−⃗k) ) . (21.51)
Wir rechnen in der Fourierdarstellung der Lösung u nach, daß φ zur Zeit t am Ort ⃗x
mit t M t,⃗x [φ] beiträgt. Wir setzen dazu in das Integral
f(t,⃗x) = √ 1 ∫
3
d 3 k e i ⃗k⃗x
1 (
e
i |⃗k|t − e −i | ⃗k|t ) ˜φ( ⃗k) (21.52)
2π 2 i |⃗k|
die Fouriertransformierte
˜φ(⃗k) = √ 1 ∫
3
d 3 y e −i ⃗k ⃗y φ(⃗y) (21.53)
2π
ein, substituieren die Integrationsvariable, ⃗y = ⃗x+⃗z, vertauschen, wie wir bei genügend
gutartigen Funktionen φ dürfen, die Integrationsreihenfolge und führen für die d 3 k-
Integration Kugelkoordinaten ein, wobei wir die z-Achse im Raum der ⃗k-Vektoren in
Richtung ⃗z wählen, sodaß einfach ⃗k⃗z = k |⃗z| cosθ = k |⃗z| u, u = cosθ, gilt.
f(t,⃗x) = 1
(2π) 3 ∫
d 3 k
= 1
(2π) 3 ∫
d 3 z
= 1
(2π) 3 ∫
d 3 z
∫
d 3 y 1
∫
d 3 k 1
(
e
i (⃗k(⃗x−⃗y)+|⃗k|t) − e i ( ⃗k ) (⃗x−⃗y)−|⃗k|t)
φ(⃗y)
2 i |⃗k|
(
e
−i (⃗k⃗z−|⃗k|t) − e −i ( ⃗k⃗z+|⃗k|t) ) φ(⃗x +⃗z) (21.54)
2 i |⃗k|
∫ ∞ ∫ 1
dk k 2 du
0 −1
∫ 2π
0
dϕ 1
2 i k e−i k |⃗z|u( e i k t − e −i k t) φ(⃗x +⃗z) .
Die ϕ-Integration ergibt einen Faktor 2π , zur Integration über u = cosθ gehört die
Stammfunktion e −i k |⃗z|u /(−i k |⃗z|), die bei u = ±1 auszuwerten ist. Es verbleibt
f(t,⃗x) = 1 ∫
d 3 z 1 dk ( e −i k|⃗z| − e i k|⃗z|)( e i k t − e −i k t) φ(⃗x +⃗z)
(2π) 2 2 |⃗z|
= 1
(2π) 2 ∫
d 3 z 1
2 |⃗z|
∫ ∞
0
∫
dk ( e −i k (|⃗z|−t) − e −i k (|⃗z|+t)) φ(⃗x +⃗z) , (21.55)
denn von den vier e-Funktionen, die bei Ausmultiplizieren der zwei Klammern entstehen,
gehören
∫
zwei zu k-Werten, die im Integrationsbereich von −∞ bis 0 durchlaufen werden,
∞
0 dk (g(k) + g(−k)) = ∫ ∞
−∞dk g(k).
Das Integral über k ergibt zwei δ-Funktionen (20.68), die wir bei der Integration d 3 z
in Kugelkoordinaten, ⃗z = r ⃗n(θ, ϕ), verwenden
f(t,⃗x) = 1
4π
∫ ∞
0
dr r 2 ∫ 1
−1d cosθ
∫ 2π
0
dϕ 1 r(
δ(t − r) − δ(r + t)
)
φ(⃗x + r ⃗n(θ, ϕ)) . (21.56)