Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Dabei ist ⃗n für t > 0 der nach außen gerichtete Normalenvektor. Das Oberflächenintegral
ist nach dem Satz von Gauß gleich dem Volumenintegral über die Divergenz 1
∂
∂t M t,⃗x[φ] = 1 ∫ t
dr r
∫d 2 cosθdϕ ∆φ . (21.40)
4πt 2 0
Dies gilt auch für negative t, denn dann ist ⃗n der nach innen gerichtete Normalenvektor
bei ⃗y = ⃗x + t⃗n.
Differenzieren wir erneut nach t und wirkt die Ableitung nach der Produktregel auf
1/t 2 , so ergibt sich ein Term, der bis auf einen Faktor −2/t mit ∂ t M übereinstimmt.
Die Ableitung des Volumenintegrals nach der oberen Grenze t ergibt den Integranden
an der oberen Grenze, das ist der Mittelwert der Ableitung ∆φ und gleich der Ableitung
∆M t,⃗x [φ] des Mittelwerts,
∂ 2
∂t 2M t,⃗x[φ] = −2 ∂
t ∂t M t,⃗x[φ] + ∆M t,⃗x [φ] . (21.41)
Da der Mittelwert der Darbouxschen Differentialgleichung
∂ 2
∂t 2M t,⃗x[φ] + 2 ∂
t ∂t M t,⃗x[φ] − ∆M t,⃗x [φ] = 0 (21.42)
genügt, löst t M t,⃗x [φ] die homogene Wellengleichung
( t M t,⃗x [φ] ) = 0 . (21.43)
Sie ist auch für t = 0 erfüllt, da die zweiten Ableitungen von t M t,⃗x [φ] stetig sind.
Für t = 0 verschwindet die Lösung t M t,⃗x [φ], ihre Zeitableitung hat zur Zeit t = 0
am Ort ⃗x den Wert φ(⃗x) .
Da die Koeffizienten η nm der Wellengleichung η mn ∂ m ∂ n u = 0 konstant sind, lösen
auch die partiellen Ableitungen ∂ k u von Lösungen u die Wellengleichung. Also ist
∂ t (t M t,⃗x [ψ]) eine Lösung der Wellengleichung. Sie hat für t = 0 am Ort ⃗x den Wert
ψ(⃗x) und verschwindende Zeitableitung, denn ∂ t (t M t,⃗x [ψ]) ist eine gerade Funktion
von t . Daher löst
u(t,⃗x) = t M t,⃗x [φ] + ∂ ∂t(
t Mt,⃗x [ψ] ) (21.44)
in 3 + 1-Dimensionen die Wellengleichung u = 0 mit den Anfangswerten
u(0,⃗x) = ψ(⃗x) ,
∂
u(0,⃗x) = φ(⃗x) . (21.45)
∂t
Jede Lösung der Wellengleichung ist eindeutig durch ihre Anfangswerte bestimmt (Seite
158). Demnach ist (21.44) die Lösung, die zu den Anfangswerten ψ und φ gehört.
1 Gleichung (21.40) zeigt zusammen mit (21.37), daß harmonische Funktionen, ∆φ = 0, an jeder Stelle
⃗x ihrem Mittelwert auf Kugelschalen gleich sind, die ⃗x umhüllen, sofern der Radius der Kugelschale
so klein ist, daß sie in dem Gebiet liegt, in dem φ harmonisch ist (17.12).