Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

218 21 Wellengleichung
Ebene Wellen beliebiger Form
Nach Annahme ist das Polynom P l in der Differentialgleichung (21.10) nicht Null. Wenn
alle anderen P m mit m < l verschwinden und P l (v,⃗y) für reelle ⃗y reelle Nullstellen v
hat, dann hat die homogene, partielle Differentialgleichung
P l (∂ 0 , ∂ 1 . . .∂ d ) u = 0 , (21.21)
bei der alle Ableitungsterme von gleicher Ordnung sind, die bemerkenswerte Eigenschaft,
ebene Wellen u(x) = f(k ·x) von beliebiger Form f zuzulassen, solange f l-fach differenzierbar
ist. Denn
P l (∂ 0 , ∂ 1 . . .) u(x) = P l (k 0 , k 1 , . . .) f (l) (k ·x) = 0 (21.22)
ist erfüllt, wenn P l (k) = |⃗k| l P l (v, −⃗n) verschwindet. Da P l ein Polynom in v ist, gibt es
zu jeder Richtung ⃗n des Wellenvektors ⃗k bis zu l reelle Nullstellen v i , das heißt bis zu l
Geschwindigkeiten, mit der sich eine ebene Welle in dieser Richtung bewegen kann.
Wellengleichung in vier Dimensionen
Daher bewegen sich ebene Wellen, die der Wellengleichung in 3 + 1-Dimensionen
u = 0 ,
= ∂2
∂t 2 − ∂2
∂x 2 − ∂2
∂y 2 − ∂2
∂z 2 , (21.23)
genügen, mit Geschwindigkeit v 2 −⃗n 2 = 0, also mit Lichtgeschwindigkeit v = ±1 in jede
Richtung. Ebene Wellen der Form f(t−⃗n⃗x) mit beliebigem, zweifach differenzierbarem f
und beliebiger Richtung ⃗n, ⃗n 2 = 1, lösen die Wellengleichung in vier Dimensionen.
Da die Wellengleichung linear ist, sind Linearkombinationen u = a u 1 + b u 2 von Lösungen
wieder Lösungen. Ebenso sind, da die Koeffizienten der Wellengleichung konstant
sind, verschobene Lösungen (T a u)(x) = u(x − a) und die Ableitungen ∂ m u Lösungen.
Superponieren wir [6] ebene Wellen f(t − ⃗n⃗x), indem wir über alle Richtungen ⃗n
integrieren, so erhalten wir eine drehinvariante, nur von t und r abhängige Lösung der
Wellengleichung
u(t, x, y, z) = 1
2π
∫ 1
d cosθ
−1
∫ 2π
0
dϕ f(t − x sin θ cosϕ − y sin θ sin ϕ − z cosθ) . (21.24)
Die Auswertung des Integrals vereinfacht sich, wenn wir die Kugelkoordinaten von ⃗n
auf eine z-Achse in Richtung von ⃗x beziehen. Dann ist ⃗n⃗x = |⃗n| |⃗x| cosθ = r cosθ, die
ϕ-Integration ergibt einen Faktor 2π und es verbleibt
u(t, x, y, z) =
∫ 1
d cosθf(t − r cosθ) =
−1
Wir benennen mit F die Stammfunktion der beliebigen Funktion f
∫ 1
dsf(t − r s) . (21.25)
−1
f(x) = d F(x) , (21.26)
dx