Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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die bei der Beschreibung von relativistischen Teilchen der Masse m auftritt, nur Lösungen
der Form u(x) = f(k ·x), k ·x := ω t−⃗k ·⃗x, wenn f die gewöhnliche Differentialgleichung
(ω 2 − ⃗k 2 ) f ′′ + m 2 f = 0 (21.15)
erfüllt. Für ω 2 > ⃗k 2 ist das die Gleichung eines harmonischen Oszillators
√
m
u(x) = a cos( k ·x + α) = a cos(ˆk ·x + α) , ˆω = m √ω 2 + ⃗ˆk2 . (21.16)
2 − ⃗k 2
Für ω 2 < ⃗k 2 wächst f exponentiell in Richtung ⃗k oder −⃗k an
√
u(x) = a eˆk·x + b e −ˆk· x , ˆω = (ˆ⃗k) 2 − m 2 . (21.17)
Streng genommen sind beide Scharen von Lösungen unphysikalisch, da sie nicht für große
Abstände klein werden. Lösungen, die für große Abstände abfallen, sind Fouriertransformierbar
und Superpositionen der Lösungen (21.16),
u(t,⃗x) = R
∫
d 3 k e i( ⃗k·⃗x−ω t) a(⃗k) , ω =
√
m 2 + ⃗k 2 . (21.18)
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der einzelnen Wellenanteile, die Phasengeschwindigkeiten
ω/|⃗k|, verschieden sind, laufen diese Anteile mit
√
der Zeit auseinander: das
Wellenpaket zeigt Dispersion. Allerdings täuscht der Wert 1 + m 2 /⃗k 2 > 1 der Phasengeschwindigkeit
über die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Bei einem schmalbandigen Wellenpaket,
dessen Amplituden a(⃗k) in einem kleinen Bereich um ⃗k 0 konzentriert sind,
entwickeln wir ω(⃗k) = ω 0 + (⃗k − ⃗k 0 ) ·⃗v + o(|⃗k − ⃗k 0 |). Kann man die höheren Terme in
der Entwicklung vernachlässigen, so ist ein schmalbandiges Wellenpaket von der Form
∫
u(t,⃗x) = R e −i (ω 0−⃗k 0 ·⃗v) t
d 3 k e i⃗k·(⃗x−⃗vt) a(⃗k) . (21.19)
Es ist der Realteil eines komplexen Wellenpakets, das bis auf eine komplexe Phase von
t und ⃗x nur über ⃗x −⃗v t abhängt, sich also mit der Gruppengeschwindigkeit
v i = ∂ω
∂k i (21.20)
bewegt. Bei der Klein-Gordon-Gleichung √ ist die Gruppengeschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit
beschränkt, ⃗v = ⃗k/ m 2 + ⃗k 2 , |⃗v| < 1.
Weder die Phasengeschwindigkeit noch die Gruppengeschwindigkeit erlauben exakte
Rückschlüsse auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Signalen. Die Lösungen der
Klein-Gordon-Gleichung ( − M 2 )u = 0 mit negativem Massenquadrat hängen wie alle
Lösungen von Gleichungen der Form u(x) + f(x, u, ∂u) = 0 im Punkt x nur von den
Anfangswerten und den Werten von f(y, 0, 0) im Rückwärtslichtkegel von x ab [7, Kapitel
7]. Nicht einmal die Klein-Gordon-Gleichung eines Tachyons erlaubt überlichtschnelle
Signale.